Страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору $ \vec{OM} $:

1) $ M(-1; 2; 0) $;

2) $ M(3; -4; 0) $;

3) $ M(0; 1; -2) $;

4) $ M(2; -5; 3) $.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M$ и перпендикулярна вектору $\vec{OM}$. Это значит, что в качестве точки $M_0$ мы берем точку $M(x_0, y_0, z_0)$, а в качестве вектора нормали $\vec{n}$ — вектор $\vec{OM}$. Поскольку точка $O$ — это начало координат $O(0, 0, 0)$, то координаты вектора $\vec{OM}$ совпадают с координатами точки $M$. Таким образом, $\vec{n} = \vec{OM} = (x_0, y_0, z_0)$.

1) M(-1; 2; 0)

Точка на плоскости: $M_0(-1, 2, 0)$, поэтому $x_0 = -1, y_0 = 2, z_0 = 0$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (-1, 2, 0)$, поэтому $A = -1, B = 2, C = 0$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$-1(x - (-1)) + 2(y - 2) + 0(z - 0) = 0$
$-1(x + 1) + 2(y - 2) = 0$
$-x - 1 + 2y - 4 = 0$
$-x + 2y - 5 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x - 2y + 5 = 0$

Ответ: $x - 2y + 5 = 0$.

2) M(3; -4; 0)

Точка на плоскости: $M_0(3, -4, 0)$, поэтому $x_0 = 3, y_0 = -4, z_0 = 0$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (3, -4, 0)$, поэтому $A = 3, B = -4, C = 0$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$3(x - 3) - 4(y - (-4)) + 0(z - 0) = 0$
$3(x - 3) - 4(y + 4) = 0$
$3x - 9 - 4y - 16 = 0$
$3x - 4y - 25 = 0$

Ответ: $3x - 4y - 25 = 0$.

3) M(0; 1; -2)

Точка на плоскости: $M_0(0, 1, -2)$, поэтому $x_0 = 0, y_0 = 1, z_0 = -2$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (0, 1, -2)$, поэтому $A = 0, B = 1, C = -2$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$0(x - 0) + 1(y - 1) - 2(z - (-2)) = 0$
$y - 1 - 2(z + 2) = 0$
$y - 1 - 2z - 4 = 0$
$y - 2z - 5 = 0$

Ответ: $y - 2z - 5 = 0$.

4) M(2; -5; 3)

Точка на плоскости: $M_0(2, -5, 3)$, поэтому $x_0 = 2, y_0 = -5, z_0 = 3$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (2, -5, 3)$, поэтому $A = 2, B = -5, C = 3$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$2(x - 2) - 5(y - (-5)) + 3(z - 3) = 0$
$2(x - 2) - 5(y + 5) + 3(z - 3) = 0$
$2x - 4 - 5y - 25 + 3z - 9 = 0$
$2x - 5y + 3z - 38 = 0$

Ответ: $2x - 5y + 3z - 38 = 0$.

3.101. Напишите уравнения плоскостей, проходящих через точку $M(2; -3; 4)$ перпендикулярно каждой координатной оси.

Для нахождения уравнений плоскостей воспользуемся общим уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, все плоскости проходят через точку $M(2; -3; 4)$, следовательно, $x_0=2$, $y_0=-3$, $z_0=4$.

Плоскость, перпендикулярная оси Ox

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Ox, имеет нормальный вектор, который коллинеарен (параллелен) направляющему вектору оси Ox. Направляющий вектор оси Ox - это базисный вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Возьмем его в качестве нормального вектора плоскости: $\vec{n}_1 = (1; 0; 0)$. В этом случае коэффициенты в уравнении плоскости равны $A=1$, $B=0$, $C=0$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_1$ в общее уравнение плоскости: $1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - (-3)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем уравнение искомой плоскости: $x - 2 = 0$

Ответ: $x = 2$

Плоскость, перпендикулярная оси Oy

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Oy, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору оси Oy, то есть вектору $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Примем его за нормальный вектор плоскости: $\vec{n}_2 = (0; 1; 0)$. В этом случае коэффициенты равны $A=0$, $B=1$, $C=0$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_2$ в общее уравнение плоскости: $0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - (-3)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем: $y + 3 = 0$

Ответ: $y = -3$

Плоскость, перпендикулярная оси Oz

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Oz, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору оси Oz, то есть вектору $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Примем его за нормальный вектор плоскости: $\vec{n}_3 = (0; 0; 1)$. В этом случае коэффициенты равны $A=0$, $B=0$, $C=1$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_3$ в общее уравнение плоскости: $0 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - (-3)) + 1 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем: $z - 4 = 0$

Ответ: $z = 4$

3.102. В прямоугольной системе координат плоскость задана уравнением $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $. Покажите, что эта плоскость проходит через точки A(a; 0; 0) B(0; b; 0) и C(0; 0; c). Данное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Для того чтобы показать, что плоскость, заданная уравнением $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, проходит через указанные точки, необходимо подставить координаты каждой точки в это уравнение. Если в результате подстановки получается верное тождество, то точка принадлежит плоскости.

Проверка для точки A(a; 0; 0)

Подставим координаты точки A, где $x=a$, $y=0$ и $z=0$, в уравнение плоскости:

$\frac{a}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} = 1$

Выполним вычисления:

$1 + 0 + 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство является верным, следовательно, точка A лежит на данной плоскости.

Проверка для точки B(0; b; 0)

Подставим координаты точки B, где $x=0$, $y=b$ и $z=0$, в уравнение плоскости:

$\frac{0}{a} + \frac{b}{b} + \frac{0}{c} = 1$

Выполним вычисления:

$0 + 1 + 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство является верным, следовательно, точка B лежит на данной плоскости.

Проверка для точки C(0; 0; c)

Подставим координаты точки C, где $x=0$, $y=0$ и $z=c$, в уравнение плоскости:

$\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{c}{c} = 1$

Выполним вычисления:

$0 + 0 + 1 = 1$

$1 = 1$

Равенство является верным, следовательно, точка C лежит на данной плоскости.

Так как координаты всех трех точек A, B и C удовлетворяют уравнению плоскости, мы доказали, что плоскость проходит через эти точки.

Ответ: Было показано, что при подстановке координат точек A(a; 0; 0), B(0; b; 0) и C(0; 0; c) в уравнение плоскости $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ получаются верные равенства, что доказывает, что плоскость проходит через данные точки.

3.103. Для данных плоскостей напишите их уравнения в отрезках и постройте эти плоскости:

1) $2x + y + z - 4 = 0;$

2) $3x - 2y - z - 6 = 0.$

1) 2x + y + z - 4 = 0;

Для того чтобы написать уравнение плоскости в отрезках, необходимо привести общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ к виду $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Исходное уравнение: $2x + y + z - 4 = 0$.

Перенесем свободный член (-4) в правую часть уравнения:$2x + y + z = 4$.

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы в правой части получить 1:$\frac{2x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$.

Упростим коэффициенты при переменных:$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$.

Это и есть уравнение плоскости в отрезках. Отсюда видно, что плоскость пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $A(2, 0, 0)$ (так как $a = 2$).
• Ось $Oy$ в точке $B(0, 4, 0)$ (так как $b = 4$).
• Ось $Oz$ в точке $C(0, 0, 4)$ (так как $c = 4$).

Для построения плоскости достаточно нанести эти три точки на координатные оси и соединить их прямыми линиями, образуя треугольник, который является частью искомой плоскости.

Построение плоскости:

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$. Плоскость построена на рисунке выше.

2) 3x - 2y - z - 6 = 0;

Аналогично первому пункту, приведем общее уравнение плоскости к уравнению в отрезках.

Исходное уравнение: $3x - 2y - z - 6 = 0$.

Перенесем свободный член (-6) в правую часть:$3x - 2y - z = 6$.

Разделим обе части уравнения на 6:$\frac{3x}{6} - \frac{2y}{6} - \frac{z}{6} = 1$.

Упростим дроби и приведем к стандартному виду:$\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{-6} = 1$.

Это уравнение плоскости в отрезках. Плоскость пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $A(2, 0, 0)$ (так как $a = 2$).
• Ось $Oy$ в точке $B(0, -3, 0)$ (так как $b = -3$).
• Ось $Oz$ в точке $C(0, 0, -6)$ (так как $c = -6$).

Построим плоскость, соединив эти три точки. Обратите внимание, что пересечения с осями $Oy$ и $Oz$ происходят на их отрицательных частях.

Построение плоскости:

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{-6} = 1$. Плоскость построена на рисунке выше.

3.104. Напишите уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка $MN$ перпендикулярно ему:

1) $M(1; -2; 2)$, $N(3; 0; 4);$

2) $M(2; 5; 4)$, $N(0; 3; -4).$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через середину отрезка $MN$ и перпендикулярна этому отрезку. Для этого нам нужно найти две вещи: точку, через которую проходит плоскость (середину отрезка $MN$), и вектор нормали к плоскости (вектор $\vec{MN}$).

Даны точки $M(1; -2; 2)$ и $N(3; 0; 4)$.

1. Нахождение середины отрезка.
Пусть точка $P(x_0; y_0; z_0)$ — середина отрезка $MN$. Её координаты вычисляются по формулам:

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, плоскость проходит через точку $P(2; -1; 3)$.

2. Нахождение вектора нормали.
Поскольку плоскость перпендикулярна отрезку $MN$, вектор $\vec{MN}$ является вектором нормали $\vec{n}$ для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (3 - 1; 0 - (-2); 4 - 2) = (2; 2; 2)$.

В качестве вектора нормали можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения расчетов разделим все координаты вектора $\vec{n}$ на 2. Получим вектор $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $P(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Подставим координаты точки $P(2; -1; 3)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(1; 1; 1)$:

$1 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - (-1)) + 1 \cdot (z - 3) = 0$

$x - 2 + y + 1 + z - 3 = 0$

Приводя подобные члены, получаем окончательное уравнение плоскости:

$x + y + z - 4 = 0$

Ответ: $x + y + z - 4 = 0$.

2)

Решим задачу для точек $M(2; 5; 4)$ и $N(0; 3; -4)$, используя тот же алгоритм.

1. Нахождение середины отрезка.
Пусть точка $P(x_0; y_0; z_0)$ — середина отрезка $MN$.

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, плоскость проходит через точку $P(1; 4; 0)$.

2. Нахождение вектора нормали.
Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости совпадает с вектором $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (0 - 2; 3 - 5; -4 - 4) = (-2; -2; -8)$.

Упростим вектор, разделив все его координаты на -2. Получим коллинеарный вектор $\vec{n_1} = (1; 1; 4)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Подставим координаты точки $P(1; 4; 0)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(1; 1; 4)$ в общее уравнение плоскости:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

$1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 4) + 4 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1 + y - 4 + 4z = 0$

Приводя подобные члены, получаем окончательное уравнение плоскости:

$x + y + 4z - 5 = 0$

Ответ: $x + y + 4z - 5 = 0$.

3.105. Напишите уравнение сферы, проходящей через точку M, с центром в точке C.

1) $M(4; 2; 2)$, $C(1; 2; -2);$

2) $M(1; -2; 3)$, $C(-2; 1; 4).$

1)

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

В данном случае центр сферы находится в точке $C(1; 2; -2)$. Следовательно, координаты центра: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -2$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-2))^2 = R^2$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = R^2$

Сфера проходит через точку $M(4; 2; 2)$. Это означает, что расстояние от центра $C$ до точки $M$ равно радиусу $R$ сферы. Квадрат радиуса $R^2$ равен квадрату расстояния между точками $C$ и $M$.

Вычислим $R^2$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

$R^2 = (4 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 0^2 + (2+2)^2 = 9 + 0 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 25$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 25$.

2)

Аналогично первому пункту, используем общее уравнение сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Центр сферы находится в точке $C(-2; 1; 4)$. Координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = 1$, $z_0 = 4$.

Подставим координаты центра в уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = R^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = R^2$

Сфера проходит через точку $M(1; -2; 3)$. Найдем квадрат радиуса $R^2$, вычислив квадрат расстояния между точками $C$ и $M$:

$R^2 = (1 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 + (3 - 4)^2 = (1+2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 3^2 + 9 + 1 = 9 + 9 + 1 = 19$.

Подставим найденное значение $R^2 = 19$ в уравнение сферы:

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 19$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 19$.

3.106. Покажите, что данным уравнением определяется сфера, и найдите ее центр и радиус:

1) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 8z + 5 = 0;$

2) $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 8y + 2z + 10 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + z^2 + 12x - 6y - 19 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 2az.$

Общий вид уравнения сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Чтобы показать, что данные уравнения определяют сферу, необходимо привести их к этому виду методом выделения полных квадратов.

1) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 8z + 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 8z) + 5 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой переменной. Для этого добавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при линейных членах:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + (z^2 + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 5 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 4)^2 - 16 + 5 = 0$

Соберем постоянные члены и перенесем их в правую часть:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 1 + 4 + 16 - 5$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 16$

Это уравнение сферы, так как оно приведено к каноническому виду. Центр сферы — точка $C(1, -2, -4)$, а радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(1, -2, -4) и радиусом R = 4.

2) $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 8y + 2z + 10 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) + (z^2 + 2z) + 10 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 10 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 + (z + 1)^2 - 1 + 10 = 0$

Перенесем константы вправо:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = 9 + 16 + 1 - 10$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = 16$

Это уравнение сферы с центром в точке $C(3, -4, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(3, -4, -1) и радиусом R = 4.

3) $x^2 + y^2 + z^2 + 12x - 6y - 19 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным (слагаемое с $z$ уже является полным квадратом):

$(x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + z^2 - 19 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + z^2 - 19 = 0$

$(x + 6)^2 - 36 + (y - 3)^2 - 9 + z^2 - 19 = 0$

Перенесем константы вправо:

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 36 + 9 + 19$

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 64$

Это уравнение сферы с центром в точке $C(-6, 3, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(-6, 3, 0) и радиусом R = 8.

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 2az$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2az = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным. Для $x$ и $y$ полные квадраты уже есть.

$x^2 + y^2 + (z^2 - 2az) = 0$

Выделим полный квадрат для $z$:

$x^2 + y^2 + (z^2 - 2 \cdot z \cdot a + a^2) - a^2 = 0$

$x^2 + y^2 + (z - a)^2 = a^2$

Приведем к каноническому виду:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - a)^2 = a^2$

Это уравнение сферы. Если $a=0$, то уравнение $x^2+y^2+z^2=0$ определяет точку (сферу нулевого радиуса) в начале координат. Если $a \ne 0$, то это уравнение сферы с центром в точке $C(0, 0, a)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(0, 0, a) и радиусом R = |a|.

3.107. Задайте системой неравенств часть шара, ограниченного сферой $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ и координатными плоскостями.

Сначала проанализируем уравнение сферы, ограничивающей шар. Уравнение дано в виде $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$.

Для нахождения центра и радиуса сферы приведем это уравнение к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Для этого выделим полный квадрат по переменной $z$:

$x^2 + y^2 + (z^2 - 4z + 4) - 4 = 0$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 2^2$

Из канонического уравнения видно, что центр сферы находится в точке $C(0, 0, 2)$, а ее радиус равен $R = 2$.

Шар представляет собой множество всех точек, находящихся внутри и на поверхности сферы. Следовательно, точки $(x, y, z)$, принадлежащие шару, удовлетворяют неравенству:

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \le 4$

В исходной форме это неравенство записывается как $x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0$.

Далее, условие "ограниченного ... и координатными плоскостями" означает, что мы рассматриваем часть шара, находящуюся в первом октанте, где координаты $x, y, z$ неотрицательны. Эта область пространства задается неравенствами:

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$.

Теперь объединим все условия в одну систему. Искомая часть шара — это пересечение множества точек шара и множества точек первого октанта. Таким образом, координаты точек этой части шара должны удовлетворять системе:

$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0 \\x \ge 0 \\y \ge 0 \\z \ge 0\end{cases}$

Проверим, нет ли в этой системе избыточных неравенств. Из неравенства шара $x^2 + y^2 + (z-2)^2 \le 4$ следует, что $(z-2)^2 \le 4 - x^2 - y^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $4 - x^2 - y^2 \le 4$. Значит, $(z-2)^2 \le 4$. Это двойное неравенство $|z-2| \le 2$, которое равносильно $-2 \le z-2 \le 2$, или $0 \le z \le 4$.

Таким образом, условие $z \ge 0$ автоматически выполняется для любой точки шара, и его можно исключить из системы как избыточное. Итоговая система неравенств, описывающая заданную часть шара, будет содержать только независимые условия.

Ответ:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0 \\x \ge 0 \\y \ge 0\end{cases}$

3.108. Даны точки $A(3; 4; -1)$ и $B(0; -2; 5)$. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и делящей его в отношении $1:2$.

Для того чтобы написать уравнение плоскости, нам необходимо знать две вещи: координаты нормального вектора к этой плоскости и координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

1. Нахождение нормального вектора.

По условию, искомая плоскость перпендикулярна отрезку $AB$. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ является нормальным вектором (вектором нормали) для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(3; 4; -1)$ и $B(0; -2; 5)$.

$\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 3; -2 - 4; 5 - (-1)) = (-3; -6; 6)$.

В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{n}$. Для упрощения расчетов разделим все координаты вектора $\vec{n}$ на $-3$ и получим новый нормальный вектор $\vec{n}' = (1; 2; -2)$.

Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид $1 \cdot x + 2 \cdot y - 2 \cdot z + D = 0$.

2. Нахождение точки на плоскости.

Плоскость делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$. Это означает, что плоскость проходит через точку $M$, которая делит отрезок $AB$ в отношении $AM:MB = 1:2$. Найдем координаты точки $M(x_M; y_M; z_M)$, используя формулы деления отрезка в данном отношении $\lambda = \frac{1}{2}$.

$x_M = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot 0}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$y_M = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} = \frac{4 + \frac{1}{2} \cdot (-2)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4 - 1}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$z_M = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda} = \frac{-1 + \frac{1}{2} \cdot 5}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1 + 2.5}{1.5} = \frac{1.5}{1.5} = 1$

Итак, мы нашли точку $M(2; 2; 1)$, которая принадлежит искомой плоскости.

3. Составление уравнения плоскости.

Теперь у нас есть нормальный вектор $\vec{n}' = (1; 2; -2)$ и точка на плоскости $M(2; 2; 1)$. Подставим координаты точки $M$ в уравнение плоскости $x + 2y - 2z + D = 0$, чтобы найти коэффициент $D$.

$2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + D = 0$

$2 + 4 - 2 + D = 0$

$4 + D = 0$

$D = -4$

Подставляем значение $D$ обратно в уравнение плоскости и получаем окончательный вид уравнения.

$x + 2y - 2z - 4 = 0$

Ответ: $x + 2y - 2z - 4 = 0$