Страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вы понимаете смысл термина «векторный метод решения задачи»?

2. Каково взаимное расположение точек $A, B, C$ и $D$, если векторы $\vec{AB}, \vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны?

3. Что можно сказать о векторах $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны?

4. Как определить косинус угла между прямыми $AB$ и $CD$ с помощью векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$?

1. Как вы понимаете смысл термина «векторный метод решения задачи»?

Векторный метод решения задачи — это способ решения, при котором геометрические объекты (точки, отрезки, прямые, плоскости) и их свойства (длины, углы, параллельность, перпендикулярность) переводятся на язык векторов и векторной алгебры.

Суть метода заключается в следующих шагах:

1. Введение векторов. В задаче вводятся векторы, которые соответствуют ключевым отрезкам или направлениям. Часто выбирается одна точка в качестве начала отсчета, и положения других точек задаются радиус-векторами.

2. Перевод условия на язык векторов. Условия задачи (например, равенство длин, перпендикулярность прямых, принадлежность точки отрезку) выражаются через векторные соотношения. Например, перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

3. Алгебраические преобразования. Полученные векторные уравнения или выражения решаются или упрощаются с помощью правил векторной алгебры (сложение и вычитание векторов, умножение на скаляр, скалярное и векторное произведения).

4. Обратный перевод. Результат, полученный в векторной форме, интерпретируется обратно в терминах геометрии, что и является решением исходной задачи.

Этот метод позволяет заменять сложные геометрические построения и рассуждения более формальными и алгоритмическими алгебраическими выкладками.

Ответ: Векторный метод — это подход к решению геометрических задач, основанный на замене геометрических объектов векторами и использовании операций векторной алгебры для нахождения решения.

2. Каково взаимное расположение точек A, B, C и D, если векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$ компланарны?

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В данном случае все три вектора, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, имеют общее начало — точку A.

Если три вектора с общим началом компланарны, это означает, что все они лежат в одной плоскости, проходящей через их общее начало.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ соединяет точки A и B. Вектор $\overrightarrow{AC}$ соединяет точки A и C. Вектор $\overrightarrow{AD}$ соединяет точки A и D.

Поскольку все три вектора лежат в одной плоскости и начинаются в точке A, их концы — точки B, C и D — также должны лежать в этой же плоскости. Следовательно, все четыре точки A, B, C и D принадлежат одной и той же плоскости.

Ответ: Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

3. Что можно сказать о векторах $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, если прямые AB и CD перпендикулярны?

Вектор $\overrightarrow{AB}$ является направляющим вектором для прямой AB, так как он лежит на этой прямой. Аналогично, вектор $\overrightarrow{CD}$ является направляющим вектором для прямой CD.

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами (или смежный с ним, чтобы угол был в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Если прямые AB и CD перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что угол между их направляющими векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ также равен $90^\circ$.

Два ненулевых вектора, угол между которыми равен $90^\circ$, называются ортогональными (или перпендикулярными). Основным свойством ортогональных векторов является то, что их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, если прямые AB и CD перпендикулярны, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ ортогональны.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ ортогональны (перпендикулярны), и их скалярное произведение равно нулю: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.

4. Как определить косинус угла между прямыми AB и CD с помощью векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$?

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле скалярного произведения: $ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

В нашем случае в качестве векторов выступают направляющие векторы прямых: $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{CD}$.

Однако угол между прямыми по определению является острым или прямым, то есть его величина $\phi$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0 \le \phi \le \pi/2$). Косинус такого угла всегда неотрицателен ($\cos \phi \ge 0$).

Угол $\theta$ между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ может быть тупым, и в этом случае его косинус будет отрицательным. Чтобы получить косинус угла между прямыми, нужно взять модуль косинуса угла между векторами.

Следовательно, косинус угла $\phi$ между прямыми AB и CD определяется по формуле: $ \cos \phi = |\cos \theta| = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} $

Здесь $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ — скалярное произведение векторов, а $|\overrightarrow{AB}|$ и $|\overrightarrow{CD}|$ — их длины (модули).

Ответ: Косинус угла между прямыми AB и CD равен модулю скалярного произведения векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, деленному на произведение длин этих векторов: $ \cos \phi = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} $.

3.122. Принадлежат ли данные точки одной прямой?

1) $A(1; -2; 3)$, $B(-2; -1; 4)$, $C(7; -4; 1);$

2) $M(2; -3; 1)$, $N(-1; 1; 1)$, $P(0; -1; 3).$

1) Чтобы определить, принадлежат ли данные точки одной прямой, можно проверить, являются ли два вектора, образованные этими точками, коллинеарными. Возьмем точки $A(1; -2; 3)$, $B(-2; -1; 4)$ и $C(7; -4; 1)$ и составим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 1; -1 - (-2); 4 - 3) = (-3; 1; 1)$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (7 - 1; -4 - (-2); 1 - 3) = (6; -2; -2)$.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, выполняется ли это условие для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\frac{6}{-3} = -2$

$\frac{-2}{1} = -2$

$\frac{-2}{1} = -2$

Так как отношения соответствующих координат равны ($ \frac{6}{-3} = \frac{-2}{1} = \frac{-2}{1} $), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общую точку A, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: да, принадлежат.

2) Проверим, принадлежат ли точки $M(2; -3; 1)$, $N(-1; 1; 1)$ и $P(0; -1; 3)$ одной прямой. Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (-1 - 2; 1 - (-3); 1 - 1) = (-3; 4; 0)$.

$\vec{MP} = (x_P - x_M; y_P - y_M; z_P - z_M) = (0 - 2; -1 - (-3); 3 - 1) = (-2; 2; 2)$.

Проверим пропорциональность координат векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$:

$\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Уже на этом шаге видно, что отношения координат не равны: $ \frac{2}{3} \neq \frac{1}{2} $. Следовательно, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ не коллинеарны, а значит точки M, N и P не лежат на одной прямой.

Ответ: нет, не принадлежат.

3.123. Найдите координаты точки C, если она является серединой отрезка AB.

1) $A(2; 1; -4)$, $B(-4; 5; 2)$;

1) $A(0; -2; 3)$, $B(4; 2; -3)$.

1) Для нахождения координат точки C, являющейся серединой отрезка AB с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, используется формула для координат середины отрезка. Координаты точки $C(x_C; y_C; z_C)$ вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$
Даны точки $A(2; 1; -4)$ и $B(-4; 5; 2)$.
Подставим их координаты в формулы:
$x_C = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_C = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$z_C = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, координаты точки C: $(-1; 3; -1)$.
Ответ: $C(-1; 3; -1)$.

1) Используем ту же формулу для нахождения координат середины отрезка для точек $A(0; -2; 3)$ и $B(4; 2; -3)$.
Вычислим координаты точки C:
$x_C = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_C = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$z_C = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{3 - 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Следовательно, координаты точки C: $(2; 0; 0)$.
Ответ: $C(2; 0; 0)$.

3.124. Найдите координаты четвертой вершины $D$ параллелограмма $ABCD$:

1) $A(2; -3; 1)$, $B(-1; 1; 1)$, $C(-4; 5; 6);$

2) $A(2; -3; 6)$, $B(1; -2; 3)$, $C(-4; 4; 6).$

1) Для нахождения координат четвертой вершины $D(x_D; y_D; z_D)$ параллелограмма $ABCD$ можно воспользоваться свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Если $O$ — точка пересечения диагоналей, то она является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$. Равенство координат середин этих отрезков приводит к следующему соотношению для координат вершин: $x_A + x_C = x_B + x_D$, $y_A + y_C = y_B + y_D$, $z_A + z_C = z_B + z_D$.
Отсюда можно выразить координаты точки $D$ через координаты известных вершин $A, B, C$:
$x_D = x_A + x_C - x_B$
$y_D = y_A + y_C - y_B$
$z_D = z_A + z_C - z_B$
Подставим данные координаты вершин $A(2; -3; 1)$, $B(-1; 1; 1)$, $C(-4; 5; 6)$ в эти формулы:
$x_D = 2 + (-4) - (-1) = 2 - 4 + 1 = -1$
$y_D = -3 + 5 - 1 = 1$
$z_D = 1 + 6 - 1 = 6$
Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-1; 1; 6)$.
Ответ: $D(-1; 1; 6)$.

2) Используем тот же подход и те же формулы, что и в первом пункте.
Даны координаты вершин: $A(2; -3; 6)$, $B(1; -2; 3)$, $C(-4; 4; 6)$.
Вычисляем координаты вершины $D(x_D; y_D; z_D)$:
$x_D = x_A + x_C - x_B = 2 + (-4) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$
$y_D = y_A + y_C - y_B = -3 + 4 - (-2) = -3 + 4 + 2 = 3$
$z_D = z_A + z_C - z_B = 6 + 6 - 3 = 9$
Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-3; 3; 9)$.
Ответ: $D(-3; 3; 9)$.

3.125. Определите углы треугольника $ABC$, если известны координаты вершин: $A(2; -1; 3)$, $B(1; 1; 1)$, $C(0; 0; 5)$.

Для определения углов треугольника ABC с заданными координатами вершин A(2; -1; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5) мы найдем векторы, образующие его стороны, а затем воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами.

Сначала найдем координаты векторов, исходящих из каждой вершины треугольника, которые соответствуют его сторонам:
Из вершины A: $\vec{AB} = (1-2; 1-(-1); 1-3) = (-1; 2; -2)$ и $\vec{AC} = (0-2; 0-(-1); 5-3) = (-2; 1; 2)$.
Из вершины B: $\vec{BA} = (2-1; -1-1; 3-1) = (1; -2; 2)$ и $\vec{BC} = (0-1; 0-1; 5-1) = (-1; -1; 4)$.
Из вершины C: $\vec{CA} = (2-0; -1-0; 3-5) = (2; -1; -2)$ и $\vec{CB} = (1-0; 1-0; 1-5) = (1; 1; -4)$.

Далее вычислим длины (модули) этих векторов, которые являются длинами сторон треугольника:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим угол A, который является углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-2) + (2)(1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
$\cos A = \frac{0}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{0}{3 \cdot 3} = 0$, следовательно, $\angle A = \arccos(0) = 90^\circ$.

Вычислим угол B, который является углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (-2)(-1) + (2)(4) = -1 + 2 + 8 = 9$.
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\angle B = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Вычислим угол C, который является углом между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (2)(1) + (-1)(1) + (-2)(-4) = 2 - 1 + 8 = 9$.
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\angle C = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. В нашем случае: $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Вычисления верны.
Ответ: углы треугольника ABC равны $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

3.126. Даны точки $A(2; 1; -4)$, $B(0; -3; 2)$ и $C(2; 13; 4)$. Покажите, что угол $A$ треугольника $ABC$ прямой.

Для того чтобы доказать, что угол A треугольника ABC является прямым, необходимо показать, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, образующие этот угол, перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю.

Даны координаты вершин треугольника: A(2; 1; -4), B(0; -3; 2) и C(2; 13; 4).

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек по формуле $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

Подставляя значения координат точек A и B, получаем:

$\vec{AB} = (0 - 2; -3 - 1; 2 - (-4)) = (-2; -4; 6)$

2. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{AC}$ по формуле $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A)$.

Подставляя значения координат точек A и C, получаем:

$\vec{AC} = (2 - 2; 13 - 1; 4 - (-4)) = (0; 12; 8)$

3. Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot 0 + (-4) \cdot 12 + 6 \cdot 8 = 0 - 48 + 48 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равно нулю, это доказывает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, угол A треугольника ABC, образованный этими векторами, является прямым, то есть равен $90^\circ$.

Ответ: Угол A треугольника ABC является прямым, что и требовалось доказать.

3.127. Даны точки $A(3; 3; -2)$, $B(0; -3; 4)$, $C(-2; -1; 5)$. Покажите, что треугольник $ABC$ – прямоугольный.

Для того чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, можно воспользоваться обратной теоремой Пифагора. Согласно этой теореме, если сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Для этого найдем квадраты длин всех сторон треугольника $ABC$.

Координаты вершин треугольника: $A(3; 3; -2)$, $B(0; -3; 4)$, $C(-2; -1; 5)$.

Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

1. Вычислим квадрат длины стороны $AB$:

$AB^2 = (0-3)^2 + (-3-3)^2 + (4-(-2))^2 = (-3)^2 + (-6)^2 + (6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81$.

2. Вычислим квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = (-2-0)^2 + (-1-(-3))^2 + (5-4)^2 = (-2)^2 + (2)^2 + (1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$.

3. Вычислим квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = (-2-3)^2 + (-1-3)^2 + (5-(-2))^2 = (-5)^2 + (-4)^2 + (7)^2 = 25 + 16 + 49 = 90$.

Теперь проверим, выполняется ли для найденных длин сторон теорема Пифагора. Сложим квадраты длин двух меньших сторон $AB$ и $BC$ и сравним с квадратом длины большей стороны $AC$.

$AB^2 + BC^2 = 81 + 9 = 90$.

Полученное значение совпадает со значением $AC^2$:

$AC^2 = 90$.

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABC$ является прямоугольным. Гипотенузой является самая длинная сторона $AC$, а прямой угол находится напротив нее, то есть это угол при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$).

Ответ: Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как сумма квадратов его сторон $AB$ и $BC$ равна квадрату стороны $AC$ ($81 + 9 = 90$), что доказывает утверждение по обратной теореме Пифагора.