Номер 3.125, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.125. Определите углы треугольника $ABC$, если известны координаты вершин: $A(2; -1; 3)$, $B(1; 1; 1)$, $C(0; 0; 5)$.

Для определения углов треугольника ABC с заданными координатами вершин A(2; -1; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5) мы найдем векторы, образующие его стороны, а затем воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами.

Сначала найдем координаты векторов, исходящих из каждой вершины треугольника, которые соответствуют его сторонам:
Из вершины A: $\vec{AB} = (1-2; 1-(-1); 1-3) = (-1; 2; -2)$ и $\vec{AC} = (0-2; 0-(-1); 5-3) = (-2; 1; 2)$.
Из вершины B: $\vec{BA} = (2-1; -1-1; 3-1) = (1; -2; 2)$ и $\vec{BC} = (0-1; 0-1; 5-1) = (-1; -1; 4)$.
Из вершины C: $\vec{CA} = (2-0; -1-0; 3-5) = (2; -1; -2)$ и $\vec{CB} = (1-0; 1-0; 1-5) = (1; 1; -4)$.

Далее вычислим длины (модули) этих векторов, которые являются длинами сторон треугольника:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Вычислим угол A, который является углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-2) + (2)(1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
$\cos A = \frac{0}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{0}{3 \cdot 3} = 0$, следовательно, $\angle A = \arccos(0) = 90^\circ$.

Вычислим угол B, который является углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (-2)(-1) + (2)(4) = -1 + 2 + 8 = 9$.
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\angle B = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Вычислим угол C, который является углом между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:
Найдем скалярное произведение: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (2)(1) + (-1)(1) + (-2)(-4) = 2 - 1 + 8 = 9$.
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\angle C = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$. В нашем случае: $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Вычисления верны.
Ответ: углы треугольника ABC равны $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.