Номер 3.128, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.128. Даны последовательные вершины параллелограмма: $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$, $C(5; 0; 2)$. Определите его четвертую вершину и угол между диагоналями.

Определение четвертой вершины

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с последовательными вершинами $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$ и $C(5; 0; 2)$. Пусть координаты четвертой вершины $D$ равны $(x, y, z)$.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (5 - 3; 0 - (-3); 2 - 1) = (2; 3; 1)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - (-3); y - (-2); z - 0) = (x + 3; y + 2; z)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$x + 3 = 2 \implies x = -1$
$y + 2 = 3 \implies y = 1$
$z = 1$

Следовательно, координаты четвертой вершины $D$ равны $(-1; 1; 1)$.

Ответ: Координаты четвертой вершины $D(-1; 1; 1)$.

Определение угла между диагоналями

Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ можно найти как угол между соответствующими векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Найдем координаты векторов диагоналей:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (5 - (-3); 0 - (-2); 2 - 0) = (8; 2; 2)$

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (-1 - 3; 1 - (-3); 1 - 1) = (-4; 4; 0)$

Косинус угла $\phi$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 8 \cdot (-4) + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 0 = -32 + 8 + 0 = -24$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{-24}{(6\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2})} = \frac{-24}{24 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-24}{24 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$

Угол между векторами $\phi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми (диагоналями) — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если один из углов равен $120^\circ$, то смежный с ним будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, угол между диагоналями равен $60^\circ$.

Ответ: Угол между диагоналями равен $60^\circ$.