Номер 3.135, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.135. В треугольной пирамиде $ABCD$ $AB \perp CD$ и $AC \perp BD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве систему координат и определим радиус-векторы вершин пирамиды. Для удобства поместим вершину A в начало координат, тогда ее радиус-вектор $\vec{a} = \vec{0}$. Пусть $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — радиус-векторы вершин B, C и D соответственно.

Выразим векторы, соответствующие ребрам пирамиды, через радиус-векторы ее вершин: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \vec{b}$; $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$; $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \vec{c}$; $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$; $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \vec{d}$; $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$.

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве эквивалентно равенству нулю скалярного произведения их направляющих векторов.

По условию задачи, $AB \perp CD$. Запишем это условие в векторной форме: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$. Подставив выражения для векторов, получим: $\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$. Раскрыв скобки, имеем: $\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$, откуда следует $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ (1).

Аналогично, по условию $AC \perp BD$, что означает $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$. Подставив векторы, получаем: $\vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$. Раскрыв скобки, имеем: $\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$, откуда следует $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ (2).

Нам необходимо доказать, что $AD \perp BC$. Для этого нужно показать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$.

Вычислим это скалярное произведение: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}$.

Воспользуемся полученными ранее равенствами (1) и (2). Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$. Поэтому равенство (2) можно переписать как $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$, а равенство (1) как $\vec{d} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Из этих двух соотношений следует, что $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{b}$, так как обе части равны одному и тому же значению $\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Теперь подставим полученный результат в выражение для искомого скалярного произведения: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Следовательно, содержащие их прямые $AD$ и $BC$ также перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о перпендикулярности прямых $AD$ и $BC$ доказано.