Номер 3.137, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.137. Медианы грани ABC пирамиды ABCD пересекаются в точке E и $DA = 3$, $DB = 6$, $DC = 9$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 60^\circ$. Найдите $DE$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в точку $D$. Тогда векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ будут радиус-векторами точек $A$, $B$ и $C$ соответственно. Обозначим их как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Из условия задачи нам известны длины этих векторов (их модули) и углы между ними:

$|\vec{a}| = DA = 3$

$|\vec{b}| = DB = 6$

$|\vec{c}| = DC = 9$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle ADB = 60^\circ$

$\angle(\vec{b}, \vec{c}) = \angle BDC = 60^\circ$

$\angle(\vec{c}, \vec{a}) = \angle CDA = 60^\circ$

Точка $E$ является точкой пересечения медиан грани $ABC$, то есть ее центроидом. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, радиус-вектор точки $E$, который мы обозначим как $\vec{e}$, вычисляется по формуле:

$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Нам нужно найти длину отрезка $DE$. Эта длина равна модулю вектора $\vec{DE}$. Так как начало координат находится в точке $D$ (вектор $\vec{d} = \vec{0}$), вектор $\vec{DE}$ совпадает с радиус-вектором точки $E$:

$\vec{DE} = \vec{e} - \vec{d} = \vec{e} - \vec{0} = \vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Найдем модуль этого вектора:

$DE = |\vec{DE}| = \left|\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right| = \frac{1}{3}|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$

Для нахождения модуля суммы векторов, вычислим сначала его квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскрыв скобки, получим:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c} + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})$

Это выражение можно переписать через модули векторов:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})$

Вычислим скалярные произведения векторов, используя формулу скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y}))$:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^\circ) = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(60^\circ) = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}|\cos(60^\circ) = 9 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 13.5$

Теперь подставим все известные значения в формулу для квадрата модуля суммы векторов:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 6^2 + 9^2 + 2(9 + 27 + 13.5)$

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 36 + 81 + 2(49.5)$

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 126 + 99 = 225$

Отсюда, модуль суммы векторов равен:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{225} = 15$

Наконец, найдем искомую длину $DE$:

$DE = \frac{1}{3}|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$

Ответ: 5