Номер 3.134, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.134. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем вершину $A$ в качестве начала системы координат. Обозначим векторы, исходящие из этой вершины вдоль трех ребер, как $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Тогда радиус-векторы всех вершин параллелепипеда можно выразить через эти три базовых вектора: $\vec{r}_A = \vec{0}$; $\vec{r}_B = \vec{b}$; $\vec{r}_D = \vec{a}$; $\vec{r}_{A_1} = \vec{c}$; $\vec{r}_C = \vec{a} + \vec{b}$; $\vec{r}_{B_1} = \vec{b} + \vec{c}$; $\vec{r}_{D_1} = \vec{a} + \vec{c}$; $\vec{r}_{C_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Основными диагоналями параллелепипеда (или пространственными диагоналями) являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.

Найдем радиус-вектор середины каждой диагонали. Известно, что радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.

Середина диагонали $AC_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_1} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $BD_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $CA_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_3} = \frac{\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $DB_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_4} = \frac{\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей равны ($\vec{r}_{O_1} = \vec{r}_{O_2} = \vec{r}_{O_3} = \vec{r}_{O_4}$), это означает, что все они совпадают в одной и той же точке пространства, которую мы можем обозначить как $O$. Эта точка $O$ является общей для всех диагоналей и, по определению, делит каждую из них пополам.

Таким образом, доказано, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является серединой каждой из них. Эта точка — центр симметрии параллелепипеда, и ее радиус-вектор равен полусумме векторов трех ребер, исходящих из одной вершины.