Номер 3.136, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.136. Противоположные стороны неплоского (вершины не лежат на одной плоскости) шестиугольника $ABCDEF$ параллельны. Покажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D, E, F$ — вершины неплoского шестиугольника в пространстве. Обозначим радиус-векторы этих вершин как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ соответственно.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что диагонали, соединяющие противоположные вершины ($AD, BE, CF$), пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это равносильно утверждению, что середины этих трех диагоналей совпадают. В векторной форме это означает, что нужно доказать равенство:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{f}}{2}$

Введем векторы, соответствующие трем последовательным сторонам шестиугольника:

$\vec{u} = \vec{AB}, \quad \vec{v} = \vec{BC}, \quad \vec{w} = \vec{CD}$

По условию, противоположные стороны шестиугольника параллельны. Парами противоположных сторон являются $(AB, DE)$, $(BC, EF)$ и $(CD, FA)$. Запишем условие параллельности в векторном виде. Вектор одной стороны коллинеарен вектору противоположной стороны:

$\vec{DE} = k_1 \vec{AB} = k_1 \vec{u}$

$\vec{EF} = k_2 \vec{BC} = k_2 \vec{v}$

$\vec{FA} = k_3 \vec{CD} = k_3 \vec{w}$

Здесь $k_1, k_2, k_3$ — некоторые скалярные коэффициенты.

Поскольку шестиугольник является замкнутой фигурой, сумма векторов всех его сторон равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FA} = \vec{0}$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$:

$\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:

$(1+k_1)\vec{u} + (1+k_2)\vec{v} + (1+k_3)\vec{w} = \vec{0}$

Теперь используем условие, что шестиугольник $ABCDEF$ является неплoским, то есть его вершины не лежат в одной плоскости. Рассмотрим векторы $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{BC}$ и $\vec{w} = \vec{CD}$. Если предположить, что эти три вектора компланарны (лежат в одной плоскости или параллельны ей), то все вершины шестиугольника также будут лежать в одной плоскости. Чтобы это показать, выберем начало отсчета в точке $A$. Тогда радиус-векторы вершин будут выражаться через $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$. Например, $\vec{r}_A = \vec{0}$, $\vec{r}_B = \vec{u}$, $\vec{r}_C = \vec{u}+\vec{v}$, $\vec{r}_D = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ и так далее. Если $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ компланарны, то все радиус-векторы вершин будут лежать в той же плоскости, что противоречит условию задачи.

Следовательно, векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ некомпланарны, то есть являются линейно независимыми. Линейная комбинация трех линейно независимых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю. Из этого следует:

$1+k_1 = 0 \implies k_1 = -1$

$1+k_2 = 0 \implies k_2 = -1$

$1+k_3 = 0 \implies k_3 = -1$

Мы получили, что $k_1 = k_2 = k_3 = -1$. Это означает, что противоположные стороны шестиугольника равны по модулю и противоположно направлены:

$\vec{DE} = -\vec{AB}$, $\quad \vec{EF} = -\vec{BC}$, $\quad \vec{FA} = -\vec{CD}$

Теперь вернемся к нашей цели — доказать совпадение середин диагоналей. Используем радиус-векторы вершин $\vec{a}, \vec{b}, \ldots, \vec{f}$.

Из равенства $\vec{DE} = -\vec{AB}$ следует:

$\vec{e} - \vec{d} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$

Перенесем векторы с одинаковыми знаками в разные части равенства:

$\vec{b} + \vec{e} = \vec{a} + \vec{d}$

Разделим обе части на 2:

$\frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Это равенство означает, что радиус-вектор середины диагонали $BE$ совпадает с радиус-вектором середины диагонали $AD$.

Аналогично, из равенства $\vec{EF} = -\vec{BC}$ следует:

$\vec{f} - \vec{e} = -(\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{c} + \vec{f} = \vec{b} + \vec{e}$

$\frac{\vec{c} + \vec{f}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2}$

Это равенство означает, что середина диагонали $CF$ совпадает с серединой диагонали $BE$.

Таким образом, мы показали, что середины всех трех диагоналей совпадают:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{f}}{2}$

Это означает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной общей точке, которая является серединой каждой из них. Следовательно, в точке пересечения они делятся пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи полностью доказано. Диагонали, соединяющие противоположные вершины неплoского шестиугольника с параллельными противоположными сторонами, пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.