Страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.128. Даны последовательные вершины параллелограмма: $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$, $C(5; 0; 2)$. Определите его четвертую вершину и угол между диагоналями.

Определение четвертой вершины

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с последовательными вершинами $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$ и $C(5; 0; 2)$. Пусть координаты четвертой вершины $D$ равны $(x, y, z)$.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (5 - 3; 0 - (-3); 2 - 1) = (2; 3; 1)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x - (-3); y - (-2); z - 0) = (x + 3; y + 2; z)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:

$x + 3 = 2 \implies x = -1$
$y + 2 = 3 \implies y = 1$
$z = 1$

Следовательно, координаты четвертой вершины $D$ равны $(-1; 1; 1)$.

Ответ: Координаты четвертой вершины $D(-1; 1; 1)$.

Определение угла между диагоналями

Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ можно найти как угол между соответствующими векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Найдем координаты векторов диагоналей:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (5 - (-3); 0 - (-2); 2 - 0) = (8; 2; 2)$

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (-1 - 3; 1 - (-3); 1 - 1) = (-4; 4; 0)$

Косинус угла $\phi$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 8 \cdot (-4) + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 0 = -32 + 8 + 0 = -24$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{-24}{(6\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2})} = \frac{-24}{24 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-24}{24 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$

Угол между векторами $\phi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми (диагоналями) — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если один из углов равен $120^\circ$, то смежный с ним будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, угол между диагоналями равен $60^\circ$.

Ответ: Угол между диагоналями равен $60^\circ$.

3.129. Стороны параллелограмма с острым углом $60^\circ$ равны 3 см и 4 см. Найдите длину его диагоналей.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Острый угол параллелограмма $\alpha = 60^\circ$. Необходимо найти длины его диагоналей, обозначим их $d_1$ и $d_2$.

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся теоремой косинусов. Диагональ, лежащая напротив острого угла, является меньшей диагональю ($d_1$). Диагональ, лежащая напротив тупого угла, является большей ($d_2$). Рассмотрим треугольники, образованные сторонами параллелограмма и его диагоналями.

Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Найдем длину меньшей диагонали $d_1$, лежащей напротив угла $60^\circ$:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$d_1^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$$d_1^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}$$d_1^2 = 25 - 12 = 13$$d_1 = \sqrt{13}$ см.

Сумма соседних углов в параллелограмме равна $180^\circ$. Следовательно, тупой угол параллелограмма $\beta$ равен:$\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь найдем длину большей диагонали $d_2$, которая лежит напротив тупого угла $\beta=120^\circ$. Применим теорему косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\beta$ между ними:$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$$d_2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, то:$d_2^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$d_2^2 = 25 + 12 = 37$$d_2 = \sqrt{37}$ см.

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $\sqrt{13}$ см и $\sqrt{37}$ см.

3.130. Покажите, что точки $A(2; -1; -2)$, $B(1; 2; 1)$, $C(2; 3; 0)$ и $D(5; 0; -6)$ лежат в одной плоскости.

Чтобы доказать, что четыре точки A(2; -1; -2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 0) и D(5; 0; -6) лежат в одной плоскости, необходимо и достаточно показать, что три вектора, построенные на этих точках с общим началом, являются компланарными (лежат в одной плоскости).
Выберем точку A в качестве общего начала и определим координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.
Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.
$\vec{AB} = (1 - 2; 2 - (-1); 1 - (-2)) = (-1; 3; 3)$
$\vec{AC} = (2 - 2; 3 - (-1); 0 - (-2)) = (0; 4; 2)$
$\vec{AD} = (5 - 2; 0 - (-1); -6 - (-2)) = (3; 1; -4)$

Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ вычисляется как определитель матрицы, строки которой являются координатами этих векторов.
$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix}$
Вычислим значение этого определителя, разложив его по первой строке:
$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = -1(4 \cdot (-4) - 2 \cdot 1) - 3(0 \cdot (-4) - 2 \cdot 3) + 3(0 \cdot 1 - 4 \cdot 3)$
$= -1(-16 - 2) - 3(0 - 6) + 3(0 - 12)$
$= -1(-18) - 3(-6) + 3(-12)$
$= 18 + 18 - 36 = 0$

Так как смешанное произведение векторов равно нулю, то векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны. Поскольку эти векторы имеют общее начало (точку A), все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.
Ответ: Смешанное произведение векторов, построенных на данных точках, равно нулю ($\begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0$), следовательно, точки лежат в одной плоскости.

3.131. Даны точки $A(0; 2; -1)$, $B(1; 0; 1)$ и $C(-1; 1; 2)$. Найдите координаты точки $D$, лежащей на оси $Oz$ так, чтобы $AD \perp BC$.

По условию задачи даны три точки с координатами $A(0; 2; -1)$, $B(1; 0; 1)$ и $C(-1; 1; 2)$. Необходимо найти координаты точки $D$, которая лежит на оси $Oz$ и для которой отрезок $AD$ перпендикулярен отрезку $BC$.

Поскольку точка $D$ лежит на оси $Oz$, её координаты по осям $Ox$ и $Oy$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $D(0; 0; z)$, где $z$ — неизвестная аппликата.

Условие перпендикулярности отрезков $AD$ и $BC$ ($AD \perp BC$) означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$.

Найдем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AD}$ с началом в точке $A(0; 2; -1)$ и концом в точке $D(0; 0; z)$ имеем:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (0 - 0; 0 - 2; z - (-1)) = (0; -2; z + 1)$.

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке $B(1; 0; 1)$ и концом в точке $C(-1; 1; 2)$ имеем:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (-2; 1; 1)$.

Теперь запишем условие равенства нулю скалярного произведения векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = (0) \cdot (-2) + (-2) \cdot (1) + (z + 1) \cdot (1) = 0$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $z$:
$0 - 2 + z + 1 = 0$
$-1 + z = 0$
$z = 1$.

Следовательно, аппликата точки $D$ равна 1, а её полные координаты — $(0; 0; 1)$.

Ответ: $D(0; 0; 1)$.

3.132. Даны координаты трех нижних вершин $O(0;0;0)$, $A(2;-3;0)$, $C(3; 2; 0)$ и одной верхней вершины $B_1(3; 0; 4)$ параллелепипеда $OABC O_1A_1B_1C_1$. Найдите координаты его других вершин.

Для решения задачи используем свойства параллелепипеда. Основание $OABC$ является параллелограммом, а боковые ребра параллелепипеда равны и параллельны, что означает равенство векторов смещения: $\vec{OO_1} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Нахождение координат вершины B

Поскольку $OABC$ — параллелограмм с вершиной $O$ в начале координат, для векторов справедливо правило сложения: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$. Координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ совпадают с координатами точек $A(2;-3;0)$ и $C(3;2;0)$.

Вычисляем координаты вектора $\vec{OB}$: $\vec{OB} = (2+3; -3+2; 0+0) = (5; -1; 0)$.

Координаты точки $B$ равны координатам вектора $\vec{OB}$.

Ответ: $B(5; -1; 0)$.

Для нахождения координат вершин верхнего основания найдем вектор смещения $\vec{v}$, который равен вектору $\vec{BB_1}$. Используем найденные координаты $B(5; -1; 0)$ и данные из условия $B_1(3; 0; 4)$:

$\vec{v} = \vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (3 - 5; 0 - (-1); 4 - 0) = (-2; 1; 4)$.

Этот вектор одинаков для всех пар соответствующих вершин: $\vec{OO_1} = \vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{v}$. Теперь найдем координаты остальных вершин.

Нахождение координат вершины O₁

Координаты точки $O_1$ найдем, прибавив к координатам точки $O(0;0;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $O_1 = (0 + (-2); 0 + 1; 0 + 4) = (-2; 1; 4)$.

Ответ: $O_1(-2; 1; 4)$.

Нахождение координат вершины A₁

Координаты точки $A_1$ найдем, прибавив к координатам точки $A(2;-3;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $A_1 = (2 + (-2); -3 + 1; 0 + 4) = (0; -2; 4)$.

Ответ: $A_1(0; -2; 4)$.

Нахождение координат вершины C₁

Координаты точки $C_1$ найдем, прибавив к координатам точки $C(3;2;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $C_1 = (3 + (-2); 2 + 1; 0 + 4) = (1; 3; 4)$.

Ответ: $C_1(1; 3; 4)$.

3.133. На ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$ взята точка $K$. Покажите, что середины отрезков $AD$, $BC$, $KD$ и $KC$ лежат в одной плоскости.

Пусть $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины отрезков $AD$, $BC$, $KD$ и $KC$ соответственно. Для доказательства того, что эти четыре точки лежат в одной плоскости, рассмотрим свойства средних линий в соответствующих треугольниках.

В треугольнике $ADK$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AD$ и $KD$. Следовательно, $MP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок $MP$ параллелен третьей стороне $AK$ ($MP \parallel AK$).

Аналогично, в треугольнике $KBC$ отрезок $QN$ соединяет середины сторон $KC$ и $BC$. Следовательно, $QN$ является средней линией этого треугольника, и поэтому отрезок $QN$ параллелен третьей стороне $KB$ ($QN \parallel KB$).

Точка $K$ по условию лежит на ребре $AB$, а значит, отрезки $AK$ и $KB$ лежат на одной прямой $AB$. Из того, что $MP \parallel AK$ и $QN \parallel KB$, следует, что отрезки $MP$ и $QN$ параллельны одной и той же прямой $AB$, а значит, они параллельны между собой: $MP \parallel QN$.

Две параллельные прямые в пространстве (в данном случае прямые, содержащие отрезки $MP$ и $QN$) однозначно определяют плоскость. Поскольку все четыре точки $M, P, Q, N$ лежат на этих двух прямых, они все принадлежат этой одной плоскости. Таким образом, доказано, что середины отрезков $AD$, $BC$, $KD$ и $KC$ лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Указанные четыре точки являются вершинами трапеции (или параллелограмма, если точка $K$ является серединой ребра $AB$), основания которой параллельны ребру $AB$, и, следовательно, лежат в одной плоскости.

3.134. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем вершину $A$ в качестве начала системы координат. Обозначим векторы, исходящие из этой вершины вдоль трех ребер, как $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Тогда радиус-векторы всех вершин параллелепипеда можно выразить через эти три базовых вектора: $\vec{r}_A = \vec{0}$; $\vec{r}_B = \vec{b}$; $\vec{r}_D = \vec{a}$; $\vec{r}_{A_1} = \vec{c}$; $\vec{r}_C = \vec{a} + \vec{b}$; $\vec{r}_{B_1} = \vec{b} + \vec{c}$; $\vec{r}_{D_1} = \vec{a} + \vec{c}$; $\vec{r}_{C_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Основными диагоналями параллелепипеда (или пространственными диагоналями) являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$ и $DB_1$.

Найдем радиус-вектор середины каждой диагонали. Известно, что радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.

Середина диагонали $AC_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_1} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $BD_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_2} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}}{2} = \frac{\vec{b} + (\vec{a} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $CA_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_3} = \frac{\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Середина диагонали $DB_1$ имеет радиус-вектор: $\vec{r}_{O_4} = \frac{\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}}{2} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей равны ($\vec{r}_{O_1} = \vec{r}_{O_2} = \vec{r}_{O_3} = \vec{r}_{O_4}$), это означает, что все они совпадают в одной и той же точке пространства, которую мы можем обозначить как $O$. Эта точка $O$ является общей для всех диагоналей и, по определению, делит каждую из них пополам.

Таким образом, доказано, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является серединой каждой из них. Эта точка — центр симметрии параллелепипеда, и ее радиус-вектор равен полусумме векторов трех ребер, исходящих из одной вершины.

3.135. В треугольной пирамиде $ABCD$ $AB \perp CD$ и $AC \perp BD$. Докажите, что $AD \perp BC$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве систему координат и определим радиус-векторы вершин пирамиды. Для удобства поместим вершину A в начало координат, тогда ее радиус-вектор $\vec{a} = \vec{0}$. Пусть $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — радиус-векторы вершин B, C и D соответственно.

Выразим векторы, соответствующие ребрам пирамиды, через радиус-векторы ее вершин: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \vec{b}$; $\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$; $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \vec{c}$; $\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$; $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \vec{d}$; $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$.

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве эквивалентно равенству нулю скалярного произведения их направляющих векторов.

По условию задачи, $AB \perp CD$. Запишем это условие в векторной форме: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$. Подставив выражения для векторов, получим: $\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$. Раскрыв скобки, имеем: $\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$, откуда следует $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ (1).

Аналогично, по условию $AC \perp BD$, что означает $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$. Подставив векторы, получаем: $\vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$. Раскрыв скобки, имеем: $\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$, откуда следует $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ (2).

Нам необходимо доказать, что $AD \perp BC$. Для этого нужно показать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0$.

Вычислим это скалярное произведение: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b}$.

Воспользуемся полученными ранее равенствами (1) и (2). Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$. Поэтому равенство (2) можно переписать как $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$, а равенство (1) как $\vec{d} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Из этих двух соотношений следует, что $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{b}$, так как обе части равны одному и тому же значению $\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Теперь подставим полученный результат в выражение для искомого скалярного произведения: $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{b} = 0$.

Так как скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Следовательно, содержащие их прямые $AD$ и $BC$ также перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о перпендикулярности прямых $AD$ и $BC$ доказано.

3.136. Противоположные стороны неплоского (вершины не лежат на одной плоскости) шестиугольника $ABCDEF$ параллельны. Покажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C, D, E, F$ — вершины неплoского шестиугольника в пространстве. Обозначим радиус-векторы этих вершин как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ соответственно.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что диагонали, соединяющие противоположные вершины ($AD, BE, CF$), пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это равносильно утверждению, что середины этих трех диагоналей совпадают. В векторной форме это означает, что нужно доказать равенство:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{f}}{2}$

Введем векторы, соответствующие трем последовательным сторонам шестиугольника:

$\vec{u} = \vec{AB}, \quad \vec{v} = \vec{BC}, \quad \vec{w} = \vec{CD}$

По условию, противоположные стороны шестиугольника параллельны. Парами противоположных сторон являются $(AB, DE)$, $(BC, EF)$ и $(CD, FA)$. Запишем условие параллельности в векторном виде. Вектор одной стороны коллинеарен вектору противоположной стороны:

$\vec{DE} = k_1 \vec{AB} = k_1 \vec{u}$

$\vec{EF} = k_2 \vec{BC} = k_2 \vec{v}$

$\vec{FA} = k_3 \vec{CD} = k_3 \vec{w}$

Здесь $k_1, k_2, k_3$ — некоторые скалярные коэффициенты.

Поскольку шестиугольник является замкнутой фигурой, сумма векторов всех его сторон равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FA} = \vec{0}$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{DE}, \vec{EF}, \vec{FA}$:

$\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:

$(1+k_1)\vec{u} + (1+k_2)\vec{v} + (1+k_3)\vec{w} = \vec{0}$

Теперь используем условие, что шестиугольник $ABCDEF$ является неплoским, то есть его вершины не лежат в одной плоскости. Рассмотрим векторы $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{BC}$ и $\vec{w} = \vec{CD}$. Если предположить, что эти три вектора компланарны (лежат в одной плоскости или параллельны ей), то все вершины шестиугольника также будут лежать в одной плоскости. Чтобы это показать, выберем начало отсчета в точке $A$. Тогда радиус-векторы вершин будут выражаться через $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$. Например, $\vec{r}_A = \vec{0}$, $\vec{r}_B = \vec{u}$, $\vec{r}_C = \vec{u}+\vec{v}$, $\vec{r}_D = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ и так далее. Если $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ компланарны, то все радиус-векторы вершин будут лежать в той же плоскости, что противоречит условию задачи.

Следовательно, векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ некомпланарны, то есть являются линейно независимыми. Линейная комбинация трех линейно независимых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю. Из этого следует:

$1+k_1 = 0 \implies k_1 = -1$

$1+k_2 = 0 \implies k_2 = -1$

$1+k_3 = 0 \implies k_3 = -1$

Мы получили, что $k_1 = k_2 = k_3 = -1$. Это означает, что противоположные стороны шестиугольника равны по модулю и противоположно направлены:

$\vec{DE} = -\vec{AB}$, $\quad \vec{EF} = -\vec{BC}$, $\quad \vec{FA} = -\vec{CD}$

Теперь вернемся к нашей цели — доказать совпадение середин диагоналей. Используем радиус-векторы вершин $\vec{a}, \vec{b}, \ldots, \vec{f}$.

Из равенства $\vec{DE} = -\vec{AB}$ следует:

$\vec{e} - \vec{d} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$

Перенесем векторы с одинаковыми знаками в разные части равенства:

$\vec{b} + \vec{e} = \vec{a} + \vec{d}$

Разделим обе части на 2:

$\frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$

Это равенство означает, что радиус-вектор середины диагонали $BE$ совпадает с радиус-вектором середины диагонали $AD$.

Аналогично, из равенства $\vec{EF} = -\vec{BC}$ следует:

$\vec{f} - \vec{e} = -(\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{c} + \vec{f} = \vec{b} + \vec{e}$

$\frac{\vec{c} + \vec{f}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2}$

Это равенство означает, что середина диагонали $CF$ совпадает с серединой диагонали $BE$.

Таким образом, мы показали, что середины всех трех диагоналей совпадают:

$\frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2} = \frac{\vec{c} + \vec{f}}{2}$

Это означает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной общей точке, которая является серединой каждой из них. Следовательно, в точке пересечения они делятся пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи полностью доказано. Диагонали, соединяющие противоположные вершины неплoского шестиугольника с параллельными противоположными сторонами, пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам.

3.137. Медианы грани ABC пирамиды ABCD пересекаются в точке E и $DA = 3$, $DB = 6$, $DC = 9$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 60^\circ$. Найдите $DE$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в точку $D$. Тогда векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ будут радиус-векторами точек $A$, $B$ и $C$ соответственно. Обозначим их как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Из условия задачи нам известны длины этих векторов (их модули) и углы между ними:

$|\vec{a}| = DA = 3$

$|\vec{b}| = DB = 6$

$|\vec{c}| = DC = 9$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle ADB = 60^\circ$

$\angle(\vec{b}, \vec{c}) = \angle BDC = 60^\circ$

$\angle(\vec{c}, \vec{a}) = \angle CDA = 60^\circ$

Точка $E$ является точкой пересечения медиан грани $ABC$, то есть ее центроидом. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, радиус-вектор точки $E$, который мы обозначим как $\vec{e}$, вычисляется по формуле:

$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Нам нужно найти длину отрезка $DE$. Эта длина равна модулю вектора $\vec{DE}$. Так как начало координат находится в точке $D$ (вектор $\vec{d} = \vec{0}$), вектор $\vec{DE}$ совпадает с радиус-вектором точки $E$:

$\vec{DE} = \vec{e} - \vec{d} = \vec{e} - \vec{0} = \vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Найдем модуль этого вектора:

$DE = |\vec{DE}| = \left|\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right| = \frac{1}{3}|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$

Для нахождения модуля суммы векторов, вычислим сначала его квадрат. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскрыв скобки, получим:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c} + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})$

Это выражение можно переписать через модули векторов:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})$

Вычислим скалярные произведения векторов, используя формулу скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y}))$:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^\circ) = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(60^\circ) = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = |\vec{c}||\vec{a}|\cos(60^\circ) = 9 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 13.5$

Теперь подставим все известные значения в формулу для квадрата модуля суммы векторов:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 6^2 + 9^2 + 2(9 + 27 + 13.5)$

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 36 + 81 + 2(49.5)$

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 126 + 99 = 225$

Отсюда, модуль суммы векторов равен:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{225} = 15$

Наконец, найдем искомую длину $DE$:

$DE = \frac{1}{3}|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$

Ответ: 5

3.138. Точка K расположена на расстоянии $d$ от плоскости правильного треугольника $ABC$. Точка $E$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ и $AB = a$. Найдите значение суммы $KA^2 + KB^2 + KC^2$.

Пусть плоскость правильного треугольника $ABC$ является плоскостью $Oxy$. Поскольку точка $E$ является точкой пересечения медиан правильного треугольника, она также является его центром масс (центроидом) и центром описанной окружности.

Введём в рассмотрение трёхмерную систему координат. Для удобства разместим начало координат в точке $E$. Тогда плоскость треугольника $ABC$ будет совпадать с плоскостью $z=0$.

В условии задачи сказано, что точка $K$ расположена на расстоянии $d$ от плоскости треугольника. В задачах по стереометрии, если не указано иное, предполагается, что проекция точки на плоскость совпадает с каким-либо "особым" центром фигуры. В данном случае, наиболее логично предположить, что проекция точки $K$ на плоскость $ABC$ — это и есть точка $E$. Таким образом, отрезок $KE$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина равна $d$, то есть $KE = d$.

Поскольку $KE \perp \text{пл.} ABC$, то $KE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $KE \perp EA$, $KE \perp EB$ и $KE \perp EC$. Следовательно, треугольники $\triangle KEA$, $\triangle KEB$ и $\triangle KEC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $E$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$KA^2 = KE^2 + EA^2$

$KB^2 = KE^2 + EB^2$

$KC^2 = KE^2 + EC^2$

Сложим эти три равенства:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = (KE^2 + EA^2) + (KE^2 + EB^2) + (KE^2 + EC^2) = 3KE^2 + EA^2 + EB^2 + EC^2$.

Так как $E$ — центр описанной окружности правильного треугольника $ABC$, то расстояния от $E$ до вершин треугольника равны радиусу этой окружности $R$:

$EA = EB = EC = R$.

Следовательно, сумма принимает вид:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = 3KE^2 + 3R^2$.

Нам известно, что $KE = d$. Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$. Высота (она же медиана) $h$ правильного треугольника равна:

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Точка пересечения медиан $E$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до вершины, то есть $2/3$ длины медианы:

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Тогда квадрат радиуса:

$R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3}$.

Подставим значения $KE^2 = d^2$ и $R^2 = a^2/3$ в выражение для искомой суммы:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = 3d^2 + 3R^2 = 3d^2 + 3\left(\frac{a^2}{3}\right) = 3d^2 + a^2$.

Ответ: $3d^2 + a^2$.