Страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.117. Через точку A(3; -3; 1) проведена прямая, параллельная прямой

$\begin{cases} x + 2y - z - 2 = 0, \\ 2x - y + z - 3 = 0. \end{cases}$

Напишите уравнение этой прямой.

Чтобы написать уравнение прямой в пространстве, нам нужна точка, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Точка нам дана по условию: $A(3; -3; 1)$.

Так как искомая прямая параллельна прямой, заданной системой уравнений, их направляющие векторы будут коллинеарны (можно взять тот же самый направляющий вектор).

Заданная прямая является линией пересечения двух плоскостей: $P_1: x + 2y - z - 2 = 0$ $P_2: 2x - y + z - 3 = 0$

Векторы нормалей к этим плоскостям имеют координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n_1} = (1; 2; -1)$ для плоскости $P_1$. $\vec{n_2} = (2; -1; 1)$ для плоскости $P_2$.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, являющейся линией пересечения этих плоскостей, перпендикулярен обоим векторам нормалей. Следовательно, его можно найти как векторное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$.

Вычислим векторное произведение: $\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)$ $\vec{s} = \vec{i}(2 - 1) - \vec{j}(1 + 2) + \vec{k}(-1 - 4) = 1\vec{i} - 3\vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s} = (1; -3; -5)$.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $(l; m; n)$, имеет вид: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Подставляем координаты точки $A(3; -3; 1)$ и компоненты направляющего вектора $\vec{s} = (1; -3; -5)$: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - (-3)}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$

Упрощая, получаем искомое уравнение прямой: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$

Ответ: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$.

3.118. Дана пирамида $ABCD$ с вершинами в точках $A(2; -2; 5)$, $B(0; 7; 2)$, $C(7; 0; 2)$, $D(1; 5; 0)$. Напишите:

1) каноническое уравнение каждого ребра пирамиды;

2) уравнение плоскости каждой грани;

3) канонические уравнения прямых, проходящих через точку $A$ параллельно каждому ребру грани $BCD$.

Даны вершины пирамиды: $A(2; -2; 5)$, $B(0; 7; 2)$, $C(7; 0; 2)$, $D(1; 5; 0)$.

1) каноническое уравнение каждого ребра пирамиды

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, имеет вид $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$. Знаменатели дробей являются координатами направляющего вектора прямой $\vec{s} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Найдем направляющие векторы для каждого ребра и запишем их уравнения.

Ребро AB: точки A(2; -2; 5) и B(0; 7; 2). Направляющий вектор $\vec{AB} = (0-2; 7-(-2); 2-5) = (-2; 9; -3)$.
Уравнение прямой AB: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{9} = \frac{z-5}{-3}$.

Ребро AC: точки A(2; -2; 5) и C(7; 0; 2). Направляющий вектор $\vec{AC} = (7-2; 0-(-2); 2-5) = (5; 2; -3)$.
Уравнение прямой AC: $\frac{x-2}{5} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-5}{-3}$.

Ребро AD: точки A(2; -2; 5) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{AD} = (1-2; 5-(-2); 0-5) = (-1; 7; -5)$.
Уравнение прямой AD: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-5}{-5}$.

Ребро BC: точки B(0; 7; 2) и C(7; 0; 2). Направляющий вектор $\vec{BC} = (7-0; 0-7; 2-2) = (7; -7; 0)$.
Уравнение прямой BC: $\frac{x-0}{7} = \frac{y-7}{-7} = \frac{z-2}{0}$.

Ребро BD: точки B(0; 7; 2) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{BD} = (1-0; 5-7; 0-2) = (1; -2; -2)$.
Уравнение прямой BD: $\frac{x-0}{1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-2}{-2}$.

Ребро CD: точки C(7; 0; 2) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{CD} = (1-7; 5-0; 0-2) = (-6; 5; -2)$.
Уравнение прямой CD: $\frac{x-7}{-6} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-2}{-2}$.

Ответ:
AB: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{9} = \frac{z-5}{-3}$;
AC: $\frac{x-2}{5} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-5}{-3}$;
AD: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-5}{-5}$;
BC: $\frac{x}{7} = \frac{y-7}{-7} = \frac{z-2}{0}$;
BD: $\frac{x}{1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-2}{-2}$;
CD: $\frac{x-7}{-6} = \frac{y}{5} = \frac{z-2}{-2}$.

2) уравнение плоскости каждой грани

Уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно найти из условия компланарности векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$, $\vec{M_1M_3}$:$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$.

Грань ABC: A(2; -2; 5), B(0; 7; 2), C(7; 0; 2). Векторы $\vec{AB}=(-2; 9; -3)$, $\vec{AC}=(5; 2; -3)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ -2 & 9 & -3 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (x-2)(9(-3) - 2(-3)) - (y+2)((-2)(-3) - 5(-3)) + (z-5)((-2)2 - 5 \cdot 9) = 0$
$-21(x-2) - 21(y+2) - 49(z-5) = 0$. Разделив на -7, получаем: $3(x-2) + 3(y+2) + 7(z-5) = 0$.
$3x - 6 + 3y + 6 + 7z - 35 = 0 \Rightarrow 3x+3y+7z-35=0$.

Грань ABD: A(2; -2; 5), B(0; 7; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{AB}=(-2; 9; -3)$, $\vec{AD}=(-1; 7; -5)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ -2 & 9 & -3 \\ -1 & 7 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-45 - (-21)) - (y+2)(10 - 3) + (z-5)(-14 - (-9)) = 0$
$-24(x-2) - 7(y+2) - 5(z-5) = 0 \Rightarrow -24x+48-7y-14-5z+25 = 0 \Rightarrow -24x-7y-5z+59=0$.
Умножив на -1, получаем: $24x+7y+5z-59=0$.

Грань ACD: A(2; -2; 5), C(7; 0; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{AC}=(5; 2; -3)$, $\vec{AD}=(-1; 7; -5)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & 7 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-10 - (-21)) - (y+2)(-25 - 3) + (z-5)(35 - (-2)) = 0$
$11(x-2) + 28(y+2) + 37(z-5) = 0 \Rightarrow 11x-22+28y+56+37z-185 = 0$.
$11x+28y+37z-151=0$.

Грань BCD: B(0; 7; 2), C(7; 0; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{BC}=(7; -7; 0)$, $\vec{BD}=(1; -2; -2)$.
$\begin{vmatrix} x-0 & y-7 & z-2 \\ 7 & -7 & 0 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = x(14 - 0) - (y-7)(-14 - 0) + (z-2)(-14 - (-7)) = 0$
$14x + 14(y-7) - 7(z-2) = 0$. Разделив на 7, получаем: $2x + 2(y-7) - (z-2) = 0$.
$2x+2y-14-z+2 = 0 \Rightarrow 2x+2y-z-12=0$.

Ответ:
ABC: $3x+3y+7z-35=0$;
ABD: $24x+7y+5z-59=0$;
ACD: $11x+28y+37z-151=0$;
BCD: $2x+2y-z-12=0$.

3) канонические уравнения прямых, проходящих через точку А параллельно каждому ребру грани BCD

Прямая, проходящая через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ параллельно вектору $\vec{s}=(l,m,n)$, имеет уравнение $\frac{x-x_A}{l} = \frac{y-y_A}{m} = \frac{z-z_A}{n}$. В качестве направляющих векторов $\vec{s}$ возьмем векторы ребер грани BCD, которые были найдены в пункте 1. Точка A имеет координаты A(2; -2; 5).

Прямая, проходящая через A параллельно ребру BC:
Направляющий вектор $\vec{BC} = (7; -7; 0)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{7} = \frac{y-(-2)}{-7} = \frac{z-5}{0} \Rightarrow \frac{x-2}{7} = \frac{y+2}{-7} = \frac{z-5}{0}$.

Прямая, проходящая через A параллельно ребру BD:
Направляющий вектор $\vec{BD} = (1; -2; -2)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{1} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-5}{-2} \Rightarrow \frac{x-2}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-5}{-2}$.

Прямая, проходящая через A параллельно ребру CD:
Направляющий вектор $\vec{CD} = (-6; 5; -2)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{-6} = \frac{y-(-2)}{5} = \frac{z-5}{-2} \Rightarrow \frac{x-2}{-6} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{-2}$.

Ответ:
Параллельно BC: $\frac{x-2}{7} = \frac{y+2}{-7} = \frac{z-5}{0}$;
Параллельно BD: $\frac{x-2}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-5}{-2}$;
Параллельно CD: $\frac{x-2}{-6} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{-2}$.

3.119. Напишите каноническое уравнение прямой, содержащей медиану $AA_1$ треугольника $ABC$, вершины которого имеют координаты:

1) $A(-2; 3; 5)$, $B(4; -3; 0)$, $C(0; 6; -5)$;

2) $A(2; 0; 4)$, $B(3; 1; 2)$, $C(0; -3; -1)$.

1) Даны вершины треугольника ABC: $A(-2; 3; 5)$, $B(4; -3; 0)$, $C(0; 6; -5)$.
Медиана $AA_1$ соединяет вершину A с серединой стороны BC, точкой $A_1$.
Найдем координаты точки $A_1$, как середины отрезка BC, по формулам:
$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2}$; $y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2}$; $z_{A_1} = \frac{z_B + z_C}{2}$.
$x_{A_1} = \frac{4 + 0}{2} = 2$
$y_{A_1} = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2}$
$z_{A_1} = \frac{0 + (-5)}{2} = -\frac{5}{2}$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(2; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.
Прямая, содержащая медиану $AA_1$, проходит через две точки: $A(-2; 3; 5)$ и $A_1(2; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{s}=(l; m; n)$, имеет вид:
$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$.
В качестве направляющего вектора $\vec{s}$ для прямой $AA_1$ можно взять вектор $\vec{AA_1}$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (2 - (-2); \frac{3}{2} - 3; -\frac{5}{2} - 5) = (4; -\frac{3}{2}; -\frac{15}{2})$.
Чтобы избавиться от дробей в координатах направляющего вектора, можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Умножим координаты вектора $\vec{AA_1}$ на 2. Получим новый направляющий вектор $\vec{s'}$:
$\vec{s'} = 2 \cdot \vec{AA_1} = (8; -3; -15)$.
Теперь запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $A(-2; 3; 5)$ с направляющим вектором $\vec{s'}=(8; -3; -15)$:
$\frac{x - (-2)}{8} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z - 5}{-15}$.
Ответ: $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z - 5}{-15}$.

2) Даны вершины треугольника ABC: $A(2; 0; 4)$, $B(3; 1; 2)$, $C(0; -3; -1)$.
Найдем координаты точки $A_1$, середины стороны BC:
$x_{A_1} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}$
$y_{A_1} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$z_{A_1} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(\frac{3}{2}; -1; \frac{1}{2})$.
Прямая, содержащая медиану $AA_1$, проходит через две точки: $A(2; 0; 4)$ и $A_1(\frac{3}{2}; -1; \frac{1}{2})$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (\frac{3}{2} - 2; -1 - 0; \frac{1}{2} - 4) = (-\frac{1}{2}; -1; -\frac{7}{2})$.
Умножим координаты вектора $\vec{AA_1}$ на -2, чтобы получить более простой коллинеарный направляющий вектор $\vec{s'}$:
$\vec{s'} = -2 \cdot \vec{AA_1} = (1; 2; 7)$.
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 0; 4)$ с направляющим вектором $\vec{s'}=(1; 2; 7)$:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - 4}{7}$.
Ответ: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{7}$.

3.120. Докажите, что прямые$\begin{cases} x = 2 + 4t, \\ y = -1 + t, \\ z = 1 - t \end{cases}$и$\begin{cases} x = -4 + 2t, \\ y = 2 - 2t, \\ z = -2 - 3t \end{cases}$являются скрещивающимися.

Для того чтобы доказать, что две прямые в пространстве являются скрещивающимися, необходимо установить два факта: во-первых, что прямые не параллельны, и, во-вторых, что они не пересекаются.

Рассмотрим данные прямые. Обозначим первую прямую как $L_1$, а вторую как $L_2$. Их параметрические уравнения:

$L_1: \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$

$L_2: \begin{cases} x = -4 + 2s \\ y = 2 - 2s \\ z = -2 - 3s \end{cases}$

Для удобства и во избежание путаницы, параметр второй прямой, который в условии также обозначен как $t$, заменен на $s$.

Сначала проверим прямые на параллельность. Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны (пропорциональны). Направляющий вектор прямой находится по коэффициентам при параметре.

Направляющий вектор прямой $L_1$: $\vec{v_1} = (4; 1; -1)$.

Направляющий вектор прямой $L_2$: $\vec{v_2} = (2; -2; -3)$.

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$. Проверим это, сравнив отношения соответствующих координат:

$\frac{4}{2} = 2$

$\frac{1}{-2} = -0.5$

Так как $2 \neq -0.5$, то отношения координат не равны. Следовательно, векторы не коллинеарны, и прямые не являются параллельными.

Теперь проверим, пересекаются ли прямые. Прямые пересекаются, если у них есть общая точка. Для нахождения такой точки нужно приравнять выражения для соответствующих координат и найти значения параметров $t$ и $s$, которые удовлетворяли бы всем трем уравнениям одновременно:

$\begin{cases} 2 + 4t = -4 + 2s \\ -1 + t = 2 - 2s \\ 1 - t = -2 - 3s \end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав переменные:

$\begin{cases} 4t - 2s = -6 \\ t + 2s = 3 \\ -t + 3s = -3 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на 2 для упрощения:

$\begin{cases} 2t - s = -3 \\ t + 2s = 3 \\ -t + 3s = -3 \end{cases}$

Решим систему из первых двух уравнений, чтобы найти возможные значения $t$ и $s$. Из первого уравнения выразим $s$: $s = 2t + 3$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$t + 2(2t + 3) = 3$

$t + 4t + 6 = 3$

$5t = -3 \implies t = -\frac{3}{5}$

Теперь найдем соответствующее значение $s$:

$s = 2(-\frac{3}{5}) + 3 = -\frac{6}{5} + \frac{15}{5} = \frac{9}{5}$

Мы получили пару значений $(t, s)$, которая является решением первых двух уравнений. Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению системы: $-t + 3s = -3$.

Подставим $t = -\frac{3}{5}$ и $s = \frac{9}{5}$ в левую часть третьего уравнения:

$-(-\frac{3}{5}) + 3(\frac{9}{5}) = \frac{3}{5} + \frac{27}{5} = \frac{30}{5} = 6$

Сравнивая результат с правой частью уравнения, получаем $6 = -3$, что является ложным равенством. Это означает, что система уравнений не имеет решения. Следовательно, у прямых нет общих точек, и они не пересекаются.

Поскольку данные прямые не параллельны и не пересекаются, по определению они являются скрещивающимися.

Ответ: Было доказано, что прямые не параллельны (их направляющие векторы $\vec{v_1}=(4; 1; -1)$ и $\vec{v_2}=(2; -2; -3)$ не коллинеарны) и не пересекаются (система уравнений для нахождения общей точки не имеет решений). Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.

3.121. Докажите, что прямые $ \begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = 2 + t, \\ z = 2t \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -1 + t, \\ y = 3 + 2t, \\ z = 2 + 2t \end{cases} $ пересекаются. Найдите точку пересечения и напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

Доказательство того, что прямые пересекаются

Даны две прямые, заданные параметрическими уравнениями. Для удобства введем разные параметры для каждой прямой, $t_1$ для первой и $t_2$ для второй.
Первая прямая ($L_1$):$ \begin{cases} x = 1 - 2t_1 \\ y = 2 + t_1 \\ z = 2t_1 \end{cases} $
Вторая прямая ($L_2$):$ \begin{cases} x = -1 + t_2 \\ y = 3 + 2t_2 \\ z = 2 + 2t_2 \end{cases} $
Чтобы прямые пересекались, должны существовать такие значения параметров $t_1$ и $t_2$, при которых координаты $(x, y, z)$ для обеих прямых совпадают. Для этого приравняем соответствующие выражения для координат и решим получившуюся систему уравнений:$ \begin{cases} 1 - 2t_1 = -1 + t_2 & (1) \\ 2 + t_1 = 3 + 2t_2 & (2) \\ 2t_1 = 2 + 2t_2 & (3) \end{cases} $
Из уравнения (3) выразим $t_1$. Для этого разделим обе части на 2:$t_1 = 1 + t_2$
Теперь подставим это выражение для $t_1$ в уравнение (1):$1 - 2(1 + t_2) = -1 + t_2$
$1 - 2 - 2t_2 = -1 + t_2$
$-1 - 2t_2 = -1 + t_2$
$-3t_2 = 0$
$t_2 = 0$
Зная $t_2$, найдем $t_1$:$t_1 = 1 + t_2 = 1 + 0 = 1$
Мы получили решение для первых двух уравнений: $t_1=1$ и $t_2=0$. Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти значения оставшемуся уравнению (2):
Левая часть: $2 + t_1 = 2 + 1 = 3$
Правая часть: $3 + 2t_2 = 3 + 2(0) = 3$
Поскольку $3 = 3$, найденные значения параметров удовлетворяют всей системе. Это означает, что система имеет единственное решение, и, следовательно, прямые пересекаются.

Ответ: Так как система уравнений для параметров прямых имеет решение, то прямые пересекаются.

Нахождение точки пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно подставить найденное значение параметра в уравнения соответствующей прямой. Подставим $t_1 = 1$ в уравнения для первой прямой:$x = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
$y = 2 + 1 = 3$
$z = 2(1) = 2$
Для проверки можно подставить $t_2 = 0$ в уравнения для второй прямой:$x = -1 + 0 = -1$
$y = 3 + 2(0) = 3$
$z = 2 + 2(0) = 2$
Результаты совпадают. Таким образом, точка пересечения имеет координаты (-1, 3, 2).

Ответ: Точка пересечения M(-1, 3, 2).

Написание уравнения плоскости, проходящей через эти прямые

Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, однозначно определяется точкой, принадлежащей этой плоскости, и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей. В качестве точки можно взять найденную точку пересечения M(-1, 3, 2). В качестве векторов возьмем направляющие векторы данных прямых.
Направляющий вектор первой прямой $\vec{v_1}$ считывается по коэффициентам при параметре $t_1$:$\vec{v_1} = (-2, 1, 2)$
Направляющий вектор второй прямой $\vec{v_2}$ считывается по коэффициентам при параметре $t_2$:$\vec{v_2} = (1, 2, 2)$
Координаты векторов не пропорциональны ($\frac{-2}{1} \neq \frac{1}{2}$), следовательно, векторы не коллинеарны, и прямые не параллельны.
Вектор нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости будет перпендикулярен обоим направляющим векторам. Его можно найти как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 2) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - 2 \cdot 1) + \vec{k}((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 1)$
$\vec{n} = \vec{i}(2 - 4) - \vec{j}(-4 - 2) + \vec{k}(-4 - 1) = -2\vec{i} + 6\vec{j} - 5\vec{k}$
Таким образом, вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (-2, 6, -5)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A, B, C)$, имеет вид:$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Подставим координаты точки M(-1, 3, 2) и вектора нормали $\vec{n} = (-2, 6, -5)$:$-2(x - (-1)) + 6(y - 3) - 5(z - 2) = 0$
$-2(x + 1) + 6(y - 3) - 5(z - 2) = 0$
$-2x - 2 + 6y - 18 - 5z + 10 = 0$
$-2x + 6y - 5z - 10 = 0$
Для более удобного вида умножим все уравнение на -1:$2x - 6y + 5z + 10 = 0$

Ответ: $2x - 6y + 5z + 10 = 0$.