Номер 3.120, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.120. Докажите, что прямые$\begin{cases} x = 2 + 4t, \\ y = -1 + t, \\ z = 1 - t \end{cases}$и$\begin{cases} x = -4 + 2t, \\ y = 2 - 2t, \\ z = -2 - 3t \end{cases}$являются скрещивающимися.

Для того чтобы доказать, что две прямые в пространстве являются скрещивающимися, необходимо установить два факта: во-первых, что прямые не параллельны, и, во-вторых, что они не пересекаются.

Рассмотрим данные прямые. Обозначим первую прямую как $L_1$, а вторую как $L_2$. Их параметрические уравнения:

$L_1: \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$

$L_2: \begin{cases} x = -4 + 2s \\ y = 2 - 2s \\ z = -2 - 3s \end{cases}$

Для удобства и во избежание путаницы, параметр второй прямой, который в условии также обозначен как $t$, заменен на $s$.

Сначала проверим прямые на параллельность. Две прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны (пропорциональны). Направляющий вектор прямой находится по коэффициентам при параметре.

Направляющий вектор прямой $L_1$: $\vec{v_1} = (4; 1; -1)$.

Направляющий вектор прямой $L_2$: $\vec{v_2} = (2; -2; -3)$.

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$. Проверим это, сравнив отношения соответствующих координат:

$\frac{4}{2} = 2$

$\frac{1}{-2} = -0.5$

Так как $2 \neq -0.5$, то отношения координат не равны. Следовательно, векторы не коллинеарны, и прямые не являются параллельными.

Теперь проверим, пересекаются ли прямые. Прямые пересекаются, если у них есть общая точка. Для нахождения такой точки нужно приравнять выражения для соответствующих координат и найти значения параметров $t$ и $s$, которые удовлетворяли бы всем трем уравнениям одновременно:

$\begin{cases} 2 + 4t = -4 + 2s \\ -1 + t = 2 - 2s \\ 1 - t = -2 - 3s \end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав переменные:

$\begin{cases} 4t - 2s = -6 \\ t + 2s = 3 \\ -t + 3s = -3 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на 2 для упрощения:

$\begin{cases} 2t - s = -3 \\ t + 2s = 3 \\ -t + 3s = -3 \end{cases}$

Решим систему из первых двух уравнений, чтобы найти возможные значения $t$ и $s$. Из первого уравнения выразим $s$: $s = 2t + 3$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$t + 2(2t + 3) = 3$

$t + 4t + 6 = 3$

$5t = -3 \implies t = -\frac{3}{5}$

Теперь найдем соответствующее значение $s$:

$s = 2(-\frac{3}{5}) + 3 = -\frac{6}{5} + \frac{15}{5} = \frac{9}{5}$

Мы получили пару значений $(t, s)$, которая является решением первых двух уравнений. Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению системы: $-t + 3s = -3$.

Подставим $t = -\frac{3}{5}$ и $s = \frac{9}{5}$ в левую часть третьего уравнения:

$-(-\frac{3}{5}) + 3(\frac{9}{5}) = \frac{3}{5} + \frac{27}{5} = \frac{30}{5} = 6$

Сравнивая результат с правой частью уравнения, получаем $6 = -3$, что является ложным равенством. Это означает, что система уравнений не имеет решения. Следовательно, у прямых нет общих точек, и они не пересекаются.

Поскольку данные прямые не параллельны и не пересекаются, по определению они являются скрещивающимися.

Ответ: Было доказано, что прямые не параллельны (их направляющие векторы $\vec{v_1}=(4; 1; -1)$ и $\vec{v_2}=(2; -2; -3)$ не коллинеарны) и не пересекаются (система уравнений для нахождения общей точки не имеет решений). Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.