Номер 3.115, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.115. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно вектору $\vec{p}$:

1) A(3; -3; 1), $\vec{p} = (3; 1; -2);$

2) A(1; 3; -5), $\vec{p} = (6; 1; 3);$

3) A(1; 2; 6), $\vec{p} = (7; 2; -3);$

4) A(-3; 4; 4), $\vec{p} = (2; -1; 3).$

Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельно заданному вектору, мы используем каноническое уравнение прямой в пространстве. Если прямая проходит через точку $A(x_0; y_0; z_0)$ и параллельна направляющему вектору $\vec{p} = (l; m; n)$, то ее уравнение имеет следующий вид:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

В этой формуле $(x_0, y_0, z_0)$ являются координатами точки $A$, а $(l, m, n)$ — координатами направляющего вектора $\vec{p}$.

Применим эту формулу для решения каждого из подпунктов.

1) Дана точка $A(3; -3; 1)$ и вектор $\vec{p} = (3; 1; -2)$.

Координаты точки: $x_0 = 3, y_0 = -3, z_0 = 1$.

Координаты направляющего вектора: $l = 3, m = 1, n = -2$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 3}{3} = \frac{y - (-3)}{1} = \frac{z - 1}{-2}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{-2}$

Ответ: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{-2}$.

2) Дана точка $A(1; 3; -5)$ и вектор $\vec{p} = (6; 1; 3)$.

Координаты точки: $x_0 = 1, y_0 = 3, z_0 = -5$.

Координаты направляющего вектора: $l = 6, m = 1, n = 3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - (-5)}{3}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 5}{3}$

Ответ: $\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 5}{3}$.

3) Дана точка $A(1; 2; 6)$ и вектор $\vec{p} = (7; 2; -3)$.

Координаты точки: $x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 6$.

Координаты направляющего вектора: $l = 7, m = 2, n = -3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 1}{7} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 6}{-3}$

Ответ: $\frac{x - 1}{7} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 6}{-3}$.

4) Дана точка $A(-3; 4; 4)$ и вектор $\vec{p} = (2; -1; 3)$.

Координаты точки: $x_0 = -3, y_0 = 4, z_0 = 4$.

Координаты направляющего вектора: $l = 2, m = -1, n = 3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - (-3)}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$

Ответ: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$.