Номер 3.109, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.109. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1; -2; 5)$, $B(-3; 0; 0)$ и $C(0; 0; 1)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $A(1; -2; 5)$, $B(-3; 0; 0)$ и $C(0; 0; 1)$, можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через три точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, которое в общем виде записывается с помощью определителя:

$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Векторы $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\vec{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$ лежат в искомой плоскости. Данный определитель представляет собой смешанное произведение векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости. Равенство нулю смешанного произведения означает, что три вектора компланарны (лежат в одной плоскости).

Примем точку $A(1; -2; 5)$ за $M_1$. Тогда:
$x_1=1, y_1=-2, z_1=5$
$x_2=-3, y_2=0, z_2=0$
$x_3=0, y_3=0, z_3=1$

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{AB} = (-3-1; 0-(-2); 0-5) = (-4; 2; -5)$
$\vec{AC} = (0-1; 0-(-2); 1-5) = (-1; 2; -4)$

Подставим эти значения в определитель:

$ \begin{vmatrix} x - 1 & y + 2 & z - 5 \\ -4 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = 0 $

Теперь раскроем определитель по первой строке:

$(x-1) \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} - (y+2) \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} + (z-5) \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$

Вычислим определители второго порядка (миноры):

$\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-4) - (-5) \cdot 2 = -8 + 10 = 2$
$\begin{vmatrix} -4 & -5 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = (-4) \cdot (-4) - (-5) \cdot (-1) = 16 - 5 = 11$
$\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6$

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение:

$2(x-1) - 11(y+2) - 6(z-5) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены, чтобы получить общее уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$2x - 2 - 11y - 22 - 6z + 30 = 0$

$2x - 11y - 6z + (-2 - 22 + 30) = 0$

$2x - 11y - 6z + 6 = 0$

Ответ: $2x - 11y - 6z + 6 = 0$.