Номер 3.108, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.108. Даны точки $A(3; 4; -1)$ и $B(0; -2; 5)$. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и делящей его в отношении $1:2$.

Для того чтобы написать уравнение плоскости, нам необходимо знать две вещи: координаты нормального вектора к этой плоскости и координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

1. Нахождение нормального вектора.

По условию, искомая плоскость перпендикулярна отрезку $AB$. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ является нормальным вектором (вектором нормали) для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точек $A(3; 4; -1)$ и $B(0; -2; 5)$.

$\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 3; -2 - 4; 5 - (-1)) = (-3; -6; 6)$.

В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{n}$. Для упрощения расчетов разделим все координаты вектора $\vec{n}$ на $-3$ и получим новый нормальный вектор $\vec{n}' = (1; 2; -2)$.

Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид $1 \cdot x + 2 \cdot y - 2 \cdot z + D = 0$.

2. Нахождение точки на плоскости.

Плоскость делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$. Это означает, что плоскость проходит через точку $M$, которая делит отрезок $AB$ в отношении $AM:MB = 1:2$. Найдем координаты точки $M(x_M; y_M; z_M)$, используя формулы деления отрезка в данном отношении $\lambda = \frac{1}{2}$.

$x_M = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda} = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot 0}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$y_M = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda} = \frac{4 + \frac{1}{2} \cdot (-2)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{4 - 1}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$

$z_M = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda} = \frac{-1 + \frac{1}{2} \cdot 5}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1 + 2.5}{1.5} = \frac{1.5}{1.5} = 1$

Итак, мы нашли точку $M(2; 2; 1)$, которая принадлежит искомой плоскости.

3. Составление уравнения плоскости.

Теперь у нас есть нормальный вектор $\vec{n}' = (1; 2; -2)$ и точка на плоскости $M(2; 2; 1)$. Подставим координаты точки $M$ в уравнение плоскости $x + 2y - 2z + D = 0$, чтобы найти коэффициент $D$.

$2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + D = 0$

$2 + 4 - 2 + D = 0$

$4 + D = 0$

$D = -4$

Подставляем значение $D$ обратно в уравнение плоскости и получаем окончательный вид уравнения.

$x + 2y - 2z - 4 = 0$

Ответ: $x + 2y - 2z - 4 = 0$