Номер 3.104, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.104. Напишите уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка $MN$ перпендикулярно ему:

1) $M(1; -2; 2)$, $N(3; 0; 4);$

2) $M(2; 5; 4)$, $N(0; 3; -4).$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение плоскости, которая проходит через середину отрезка $MN$ и перпендикулярна этому отрезку. Для этого нам нужно найти две вещи: точку, через которую проходит плоскость (середину отрезка $MN$), и вектор нормали к плоскости (вектор $\vec{MN}$).

Даны точки $M(1; -2; 2)$ и $N(3; 0; 4)$.

1. Нахождение середины отрезка.
Пусть точка $P(x_0; y_0; z_0)$ — середина отрезка $MN$. Её координаты вычисляются по формулам:

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, плоскость проходит через точку $P(2; -1; 3)$.

2. Нахождение вектора нормали.
Поскольку плоскость перпендикулярна отрезку $MN$, вектор $\vec{MN}$ является вектором нормали $\vec{n}$ для этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (3 - 1; 0 - (-2); 4 - 2) = (2; 2; 2)$.

В качестве вектора нормали можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения расчетов разделим все координаты вектора $\vec{n}$ на 2. Получим вектор $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $P(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Подставим координаты точки $P(2; -1; 3)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(1; 1; 1)$:

$1 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - (-1)) + 1 \cdot (z - 3) = 0$

$x - 2 + y + 1 + z - 3 = 0$

Приводя подобные члены, получаем окончательное уравнение плоскости:

$x + y + z - 4 = 0$

Ответ: $x + y + z - 4 = 0$.

2)

Решим задачу для точек $M(2; 5; 4)$ и $N(0; 3; -4)$, используя тот же алгоритм.

1. Нахождение середины отрезка.
Пусть точка $P(x_0; y_0; z_0)$ — середина отрезка $MN$.

$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$z_0 = \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, плоскость проходит через точку $P(1; 4; 0)$.

2. Нахождение вектора нормали.
Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости совпадает с вектором $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M) = (0 - 2; 3 - 5; -4 - 4) = (-2; -2; -8)$.

Упростим вектор, разделив все его координаты на -2. Получим коллинеарный вектор $\vec{n_1} = (1; 1; 4)$.

3. Составление уравнения плоскости.
Подставим координаты точки $P(1; 4; 0)$ и вектора нормали $\vec{n_1}=(1; 1; 4)$ в общее уравнение плоскости:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

$1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 4) + 4 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1 + y - 4 + 4z = 0$

Приводя подобные члены, получаем окончательное уравнение плоскости:

$x + y + 4z - 5 = 0$

Ответ: $x + y + 4z - 5 = 0$.