Страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.109. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A(1; -2; 5)$, $B(-3; 0; 0)$ и $C(0; 0; 1)$.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $A(1; -2; 5)$, $B(-3; 0; 0)$ и $C(0; 0; 1)$, можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через три точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, которое в общем виде записывается с помощью определителя:

$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $

Векторы $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\vec{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$ лежат в искомой плоскости. Данный определитель представляет собой смешанное произведение векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости. Равенство нулю смешанного произведения означает, что три вектора компланарны (лежат в одной плоскости).

Примем точку $A(1; -2; 5)$ за $M_1$. Тогда:
$x_1=1, y_1=-2, z_1=5$
$x_2=-3, y_2=0, z_2=0$
$x_3=0, y_3=0, z_3=1$

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{AB} = (-3-1; 0-(-2); 0-5) = (-4; 2; -5)$
$\vec{AC} = (0-1; 0-(-2); 1-5) = (-1; 2; -4)$

Подставим эти значения в определитель:

$ \begin{vmatrix} x - 1 & y + 2 & z - 5 \\ -4 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = 0 $

Теперь раскроем определитель по первой строке:

$(x-1) \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} - (y+2) \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} + (z-5) \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$

Вычислим определители второго порядка (миноры):

$\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-4) - (-5) \cdot 2 = -8 + 10 = 2$
$\begin{vmatrix} -4 & -5 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = (-4) \cdot (-4) - (-5) \cdot (-1) = 16 - 5 = 11$
$\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6$

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение:

$2(x-1) - 11(y+2) - 6(z-5) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены, чтобы получить общее уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$2x - 2 - 11y - 22 - 6z + 30 = 0$

$2x - 11y - 6z + (-2 - 22 + 30) = 0$

$2x - 11y - 6z + 6 = 0$

Ответ: $2x - 11y - 6z + 6 = 0$.

3.110. Напишите уравнение касательной плоскости к сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ в точке $M(2; 3; 6)$.

Уравнение сферы дано как $x^2 + y^2 + z^2 = 49$. Точка касания $M(2; 3; 6)$.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявно уравнением $F(x, y, z) = 0$, в точке $M(x_0; y_0; z_0)$ находится по формуле:$F'_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F'_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0$

В данном случае, представим уравнение сферы в виде $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 49 = 0$.Найдем частные производные функции $F(x, y, z)$:$F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 2x$$F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 2y$$F'_z = \frac{\partial F}{\partial z} = 2z$

Теперь вычислим значения этих производных в точке касания $M(2; 3; 6)$:$F'_x(2, 3, 6) = 2 \cdot 2 = 4$$F'_y(2, 3, 6) = 2 \cdot 3 = 6$$F'_z(2, 3, 6) = 2 \cdot 6 = 12$

Координаты $(4; 6; 12)$ являются координатами вектора нормали $\vec{n}$ к касательной плоскости.

Подставим найденные значения и координаты точки $M(x_0=2, y_0=3, z_0=6)$ в формулу уравнения касательной плоскости:$4(x - 2) + 6(y - 3) + 12(z - 6) = 0$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки:$4x - 8 + 6y - 18 + 12z - 72 = 0$$4x + 6y + 12z - 98 = 0$

Для упрощения можно разделить все коэффициенты уравнения на 2:$2x + 3y + 6z - 49 = 0$

Это и есть искомое уравнение касательной плоскости. Его также можно записать в виде $2x + 3y + 6z = 49$.

Ответ: $2x + 3y + 6z - 49 = 0$.

3.111. Плоскость, проходящая через центр $C$ сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y = 0$ перпендикулярно вектору $\vec{OC}$, делит соответствующий шар на две части. Задайте каждую из частей системой неравенств и постройте их.

Для решения задачи сначала найдем каноническое уравнение сферы, чтобы определить ее центр и радиус. Затем составим уравнение плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно вектору $\vec{OC}$. Наконец, зададим две части шара, на которые его делит эта плоскость, системами неравенств и построим их проекцию на плоскость $Oxy$.

1. Определение центра и радиуса сферы

Исходное уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y = 0$.

Для нахождения центра $C$ и радиуса $R$ приведем уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + z^2 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot 4 \cdot y + 4^2) - 4^2 + z^2 = 0$

$(x-3)^2 - 9 + (y-4)^2 - 16 + z^2 = 0$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 25$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-0)^2 = 5^2$

Отсюда следует, что центр сферы $C$ имеет координаты $(3, 4, 0)$, а радиус $R = 5$.

Шар, ограниченный данной сферой, задается неравенством: $(x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25$.

2. Уравнение плоскости

Плоскость проходит через центр сферы $C(3, 4, 0)$ и перпендикулярна вектору $\vec{OC}$, где $O(0, 0, 0)$ — начало координат.

Координаты вектора $\vec{OC}$ равны координатам точки $C$: $\vec{OC} = (3, 4, 0)$.

Так как плоскость перпендикулярна вектору $\vec{OC}$, этот вектор является ее вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C) = (3, 4, 0)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $(A, B, C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставляя координаты точки $C(3, 4, 0)$ и вектора нормали $\vec{n}=(3, 4, 0)$, получаем:

$3(x-3) + 4(y-4) + 0(z-0) = 0$

$3x - 9 + 4y - 16 = 0$

$3x + 4y - 25 = 0$

Это и есть уравнение искомой плоскости.

3. Системы неравенств для частей шара

Плоскость $3x + 4y - 25 = 0$ делит все пространство на два полупространства, задаваемых неравенствами $3x + 4y - 25 \ge 0$ и $3x + 4y - 25 \le 0$. Соответственно, шар делится на две части, каждая из которых является пересечением шара с одним из полупространств.

Первая часть шара

Эта часть задается системой неравенств:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

или в исходных переменных:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y \le 0 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

Ответ:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

Вторая часть шара

Эта часть задается системой неравенств:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

или в исходных переменных:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y \le 0 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

Ответ:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

Построение

Поскольку центр сферы $C(3, 4, 0)$ и вектор нормали плоскости $\vec{OC}=(3, 4, 0)$ лежат в плоскости $z=0$, для наглядности построим проекцию шара и плоскости на плоскость $Oxy$. Шар проецируется в круг $(x-3)^2 + (y-4)^2 \le 25$, а плоскость — в прямую $3x+4y-25=0$. Эта прямая проходит через центр круга, разделяя его на два полукруга.

На рисунке синим цветом показана проекция части шара, для которой выполняется неравенство $3x+4y-25 \le 0$. Оранжевым цветом показана проекция части, для которой $3x+4y-25 \ge 0$. Красная линия — проекция секущей плоскости. Зеленый вектор — это вектор $\vec{OC}$.

Ответ:

Построение представлено на рисунке выше.

3.112. Напишите уравнение сферы, пересекающей плоскость $O xy$ по окружности $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$ и проходящей через точку $M(1; 5; 1)$.

Искомая сфера принадлежит пучку сфер, проходящих через заданную окружность. Окружность задана как пересечение плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) и поверхности $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$.

Заметим, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$ в пространстве описывает круговой цилиндр, ось которого параллельна оси $Oz$. Окружность, данная в условии, является линией пересечения этого цилиндра с плоскостью $z=0$.

Другой способ задать эту окружность — это пересечение плоскости $P: z=0$ и некоторой сферы $S_1=0$. В качестве $S_1$ можно взять сферу, уравнение которой получается добавлением члена $z^2$ к уравнению цилиндра: $S_1: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 23 = 0$. Действительно, при $z=0$ это уравнение превращается в уравнение данной окружности.

Уравнение любой поверхности, проходящей через линию пересечения $S_1=0$ и $P=0$, можно записать в виде пучка поверхностей: $S_1 + \lambda P = 0$.

Подставим уравнения $S_1$ и $P$:

$(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 23) + \lambda(z) = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + \lambda z + 23 = 0$

Это уравнение представляет собой сферу для любого значения параметра $\lambda$, так как коэффициенты при $x^2$, $y^2$ и $z^2$ равны единице. Нам нужно найти такое значение $\lambda$, при котором сфера проходит через точку $M(1; 5; 1)$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение пучка сфер:

$1^2 + 5^2 + 1^2 - 2(1) - 10(5) + \lambda(1) + 23 = 0$

$1 + 25 + 1 - 2 - 50 + \lambda + 23 = 0$

$(1 + 25 + 1 - 2 - 50 + 23) + \lambda = 0$

$-2 + \lambda = 0$

Отсюда находим $\lambda = 2$.

Подставив найденное значение $\lambda=2$ обратно в уравнение пучка, получаем уравнение искомой сферы:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 2z + 23 = 0$

Можно также представить это уравнение в каноническом виде, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + (z^2 + 2z + 1) - 1 + 23 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 4$

Это сфера с центром в точке $(1; 5; -1)$ и радиусом $R=2$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 2z + 23 = 0$ или $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 4$.