Страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.91. Докажите, что если в треугольнике две медианы равны между собой, то этот треугольник – равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ к стороне $BC$ и $BN$ к стороне $AC$. По условию задачи дано, что длина этих медиан равна: $AM = BN$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что $AC = BC$.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан $AM$ и $BN$ как $O$.

Согласно свойству медиан, мы можем записать следующие соотношения для их отрезков:
$AO = \frac{2}{3}AM$ и $OM = \frac{1}{3}AM$;
$BO = \frac{2}{3}BN$ и $ON = \frac{1}{3}BN$.

Поскольку по условию задачи $AM = BN$, то и соответствующие части этих медиан, полученные при делении в одинаковом отношении, будут равны между собой:
$AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}BN = BO$
$OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}BN = ON$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$. Сравним их элементы:
1. $AO = BO$ (как доказано выше).
2. $ON = OM$ (как доказано выше).
3. $\angle AON = \angle BOM$ (как вертикальные углы).
Таким образом, треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle AON \cong \triangle BOM$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AN = BM$.

По определению медианы, точка $N$ является серединой стороны $AC$, следовательно, $AN = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, точка $M$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM = \frac{1}{2}BC$.

Подставив эти выражения в равенство $AN = BM$, получаем:
$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$
Умножив обе части на 2, приходим к выводу, что $AC = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике две медианы равны, то этот треугольник является равнобедренным.

3.92. Если вектор $\vec{a}$ образует с положительными направлениями координатных осей $Ox, Oy$ и $Oz$ углы, равные $\alpha, \beta$ и $\gamma$, то $\cos \alpha, \cos \beta$ и $\cos \gamma$ называются направляющими косинусами данного вектора. Докажите, что направляющие косинусы вектора $\vec{a} = (x; y; z)$ определяются по формулам

$\cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

$\cos \beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

$\cos \gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

Для доказательства воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно выразить двумя способами:

1. Через координаты векторов: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.

2. Через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Рассмотрим данный вектор $\vec{a} = (x; y; z)$ и единичные векторы (орты) координатных осей: $\vec{i} = (1; 0; 0)$ для оси $Ox$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$ для оси $Oy$ и $\vec{k} = (0; 0; 1)$ для оси $Oz$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Модули единичных векторов равны 1: $|\vec{i}| = 1$, $|\vec{j}| = 1$, $|\vec{k}| = 1$.

Доказательство для $\cos \alpha$

Угол $\alpha$ является углом между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Ox$, то есть углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$. Найдем их скалярное произведение двумя способами.

С одной стороны, через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{i} = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x$.

С другой стороны, через модули и угол: $\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| |\vec{i}| \cos\alpha = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 1 \cdot \cos\alpha$.

Приравнивая оба выражения, получаем: $x = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \cos\alpha$.

Выражая из этого равенства $\cos\alpha$, получаем требуемую формулу.

Ответ: $\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$, что и требовалось доказать.

Доказательство для $\cos \beta$

Угол $\beta$ является углом между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Oy$, то есть углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{j}$. Найдем их скалярное произведение.

С одной стороны, через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{j} = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y$.

С другой стороны, через модули и угол: $\vec{a} \cdot \vec{j} = |\vec{a}| |\vec{j}| \cos\beta = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 1 \cdot \cos\beta$.

Приравнивая оба выражения, получаем: $y = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \cos\beta$.

Выражая из этого равенства $\cos\beta$, получаем требуемую формулу.

Ответ: $\cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$, что и требовалось доказать.

Доказательство для $\cos \gamma$

Угол $\gamma$ является углом между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Oz$, то есть углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{k}$. Найдем их скалярное произведение.

С одной стороны, через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{k} = x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = z$.

С другой стороны, через модули и угол: $\vec{a} \cdot \vec{k} = |\vec{a}| |\vec{k}| \cos\gamma = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot 1 \cdot \cos\gamma$.

Приравнивая оба выражения, получаем: $z = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \cos\gamma$.

Выражая из этого равенства $\cos\gamma$, получаем требуемую формулу.

Ответ: $\cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$, что и требовалось доказать.