Номер 3.91, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.91. Докажите, что если в треугольнике две медианы равны между собой, то этот треугольник – равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ к стороне $BC$ и $BN$ к стороне $AC$. По условию задачи дано, что длина этих медиан равна: $AM = BN$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что $AC = BC$.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан $AM$ и $BN$ как $O$.

Согласно свойству медиан, мы можем записать следующие соотношения для их отрезков:
$AO = \frac{2}{3}AM$ и $OM = \frac{1}{3}AM$;
$BO = \frac{2}{3}BN$ и $ON = \frac{1}{3}BN$.

Поскольку по условию задачи $AM = BN$, то и соответствующие части этих медиан, полученные при делении в одинаковом отношении, будут равны между собой:
$AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}BN = BO$
$OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}BN = ON$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$. Сравним их элементы:
1. $AO = BO$ (как доказано выше).
2. $ON = OM$ (как доказано выше).
3. $\angle AON = \angle BOM$ (как вертикальные углы).
Таким образом, треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle AON \cong \triangle BOM$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AN = BM$.

По определению медианы, точка $N$ является серединой стороны $AC$, следовательно, $AN = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, точка $M$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM = \frac{1}{2}BC$.

Подставив эти выражения в равенство $AN = BM$, получаем:
$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BC$
Умножив обе части на 2, приходим к выводу, что $AC = BC$.

Так как две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике две медианы равны, то этот треугольник является равнобедренным.