Страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. Дан треугольник $ABC$ с вершинами $A(2; 1; -4)$, $B(4; 0; -2)$, $C(0; -3; 0)$.

Найдите:

1) $\cos \angle A$;

2) угол между медианой $AA_1$ и стороной $AC$;

3) длину медианы $AA_1$;

4) координаты точки пересечения медиан данного треугольника.

1) cos∠A; Угол A треугольника ABC является углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для его нахождения сначала определим координаты этих векторов, исходя из координат вершин треугольника A(2; 1; -4), B(4; 0; -2) и C(0; -3; 0). Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность координат его конца (B) и начала (A): $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 2; 0 - 1; -2 - (-4)) = (2; -1; 2)$. Аналогично для вектора $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 2; -3 - 1; 0 - (-4)) = (-2; -4; 4)$. Косинус угла между двумя векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей): $\cos \angle A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$. Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равно: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) + 2 \cdot 4 = -4 + 4 + 8 = 8$. Длина вектора $\vec{AB}$ равна: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Длина вектора $\vec{AC}$ равна: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$. Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла A: $\cos \angle A = \frac{8}{3 \cdot 6} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) угол между медианой AA₁ и стороной AC; Медиана AA₁ соединяет вершину A с серединой противолежащей стороны BC. Найдем координаты точки A₁, которая является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Для B(4; 0; -2) и C(0; -3; 0) координаты A₁ будут: $x_{A_1} = \frac{4+0}{2} = 2$; $y_{A_1} = \frac{0+(-3)}{2} = -1.5$; $z_{A_1} = \frac{-2+0}{2} = -1$. Таким образом, точка A₁ имеет координаты (2; -1.5; -1). Теперь найдем вектор медианы $\vec{AA_1}$, зная координаты точек A(2; 1; -4) и A₁(2; -1.5; -1): $\vec{AA_1} = (2 - 2; -1.5 - 1; -1 - (-4)) = (0; -2.5; 3)$. Вектор стороны $\vec{AC}$ был найден в пункте 1: $\vec{AC} = (-2; -4; 4)$. Пусть $\beta$ — угол между медианой AA₁ и стороной AC. Косинус этого угла равен: $\cos \beta = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}|}$. Скалярное произведение векторов: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot (-2) + (-2.5) \cdot (-4) + 3 \cdot 4 = 0 + 10 + 12 = 22$. Длина вектора $\vec{AA_1}$: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + (-2.5)^2 + 3^2} = \sqrt{6.25 + 9} = \sqrt{15.25} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$. Длина вектора $\vec{AC}$ была найдена ранее и равна 6. Теперь вычислим косинус угла $\beta$: $\cos \beta = \frac{22}{\frac{\sqrt{61}}{2} \cdot 6} = \frac{22}{3\sqrt{61}} = \frac{22\sqrt{61}}{183}$. Сам угол $\beta$ равен арккосинусу этого значения: $\beta = \arccos\left(\frac{22\sqrt{61}}{183}\right)$. Ответ: $\arccos\left(\frac{22\sqrt{61}}{183}\right)$.

3) длину медианы AA₁; Длина медианы AA₁ равна модулю вектора $\vec{AA_1}$. Вектор и его модуль были вычислены в предыдущем пункте. Вектор медианы: $\vec{AA_1} = (0; -2.5; 3)$. Длина медианы AA₁: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + (-2.5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 6.25 + 9} = \sqrt{15.25}$. Преобразуем десятичную дробь под корнем в обыкновенную: $\sqrt{15.25} = \sqrt{\frac{1525}{100}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{61}}{2}$.

4) координаты точки пересечения медиан данного треугольника. Точка пересечения медиан треугольника (также называемая центроидом) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат всех трех вершин треугольника. Пусть M - точка пересечения медиан. Ее координаты $(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$, $y_M = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$, $z_M = \frac{z_A+z_B+z_C}{3}$. Подставим координаты вершин A(2; 1; -4), B(4; 0; -2), C(0; -3; 0): $x_M = \frac{2+4+0}{3} = \frac{6}{3} = 2$. $y_M = \frac{1+0+(-3)}{3} = \frac{-2}{3}$. $z_M = \frac{-4+(-2)+0}{3} = \frac{-6}{3} = -2$. Таким образом, координаты точки пересечения медиан: M(2; $-\frac{2}{3}$; -2). Ответ: (2; $-\frac{2}{3}$; -2).

3.83. Известно, что $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$. Покажите, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

По условию задачи векторы $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ перпендикулярны. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Запишем это условие в виде математического равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов. Это аналогично формуле разности квадратов для действительных чисел $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Следовательно, слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются. Уравнение упрощается до: $\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля): $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применяя это свойство, получаем: $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Длина (модуль) вектора — это неотрицательная величина. Поэтому, если квадраты длин равны, то равны и сами длины. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем окончательный результат: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Что и требовалось доказать.

Это утверждение имеет ясную геометрическую интерпретацию. Если от одной точки отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и построить на них параллелограмм, то векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ будут соответствовать его диагоналям.

Условие $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$ означает, что диагонали параллелограмма перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. У ромба все стороны равны по длине. Так как стороны нашего параллелограмма образованы векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их длины (модули) должны быть равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Ответ: Равенство $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ доказано.

3.84. Найдите значение выражения $(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}),$ если $|\vec{a}| = 2,$ $|\vec{b}| = 3$ и $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^\circ.$

Для нахождения значения выражения $(2\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$ воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Данное выражение представляет собой скалярное произведение двух векторов: $(2\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон для скалярного произведения:

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$), упростим выражение:

$2|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Из условия задачи нам известны:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 3$

$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 120^\circ$

Значение косинуса угла $120^\circ$ равно:

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3$

Теперь подставим все известные значения в упрощенное выражение $2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$:

$2 \cdot (2)^2 - 3 \cdot (-3) + (3)^2 = 2 \cdot 4 - (-9) + 9 = 8 + 9 + 9 = 26$

Ответ: 26

3.85. Даны векторы $\vec{a} = (2; 1; -4)$ и $\vec{b} = (4; 0; -3)$. Найдите значение $m$, при котором $(\vec{a} + m\vec{b}) \perp \vec{b}$.

По условию, даны векторы $\vec{a} = (2; 1; -4)$ и $\vec{b} = (4; 0; -3)$. Необходимо найти такое значение скаляра $m$, при котором вектор $(\vec{a} + m\vec{b})$ будет перпендикулярен вектору $\vec{b}$.

Два ненулевых вектора являются перпендикулярными (или ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, для решения задачи нам нужно составить и решить уравнение: $(\vec{a} + m\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$.

Для начала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + m\vec{b}$. Сначала умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $m$: $m\vec{b} = m \cdot (4; 0; -3) = (4m; 0 \cdot m; -3m) = (4m; 0; -3m)$. Затем выполним сложение векторов $\vec{a}$ и $m\vec{b}$: $\vec{c} = \vec{a} + m\vec{b} = (2; 1; -4) + (4m; 0; -3m) = (2+4m; 1+0; -4-3m) = (2+4m; 1; -4-3m)$.

Теперь, имея координаты вектора $\vec{c}$, подставим их в условие перпендикулярности $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$: $(2+4m; 1; -4-3m) \cdot (4; 0; -3) = 0$.

Вычислим скалярное произведение, перемножая соответствующие координаты векторов и складывая полученные произведения: $(2+4m) \cdot 4 + 1 \cdot 0 + (-4-3m) \cdot (-3) = 0$.

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $m$: $8 + 16m + 0 + 12 + 9m = 0$.

Приведем подобные слагаемые: $(16m + 9m) + (8+12) = 0$ $25m + 20 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения: $25m = -20$.

Найдем $m$: $m = -\frac{20}{25}$.

Сократив дробь на 5, получим окончательный результат: $m = -\frac{4}{5}$. В виде десятичной дроби это $m = -0.8$.

Ответ: $m = -0.8$.

3.86. Вычислите значение выражения $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$, если из- вестно, что $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ и $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=a$.

По условию задачи нам дано, что сумма векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равна нулевому вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

Также известно, что модули (длины) этих векторов равны между собой:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$

Наша цель — найти значение выражения $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Для этого воспользуемся известным векторным равенством $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$. Возведем это равенство в скалярный квадрат. Скалярный квадрат вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя. Скалярный квадрат нулевого вектора равен нулю.

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = 0$

Раскроем скобки в левой части, используя правила умножения многочленов и свойства скалярного произведения (коммутативность: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$):

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} = 0$

Теперь воспользуемся свойством скалярного квадрата вектора, который равен квадрату его модуля: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Сгруппируем подобные слагаемые:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Подставим в это уравнение известные из условия значения модулей $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = a$ и $|\vec{c}| = a$:

$a^2 + a^2 + a^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

$3a^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Теперь выразим искомое выражение:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = -3a^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{3a^2}{2}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$.

3.87. Дан треугольник ABC с вершинами A($x_1$; $y_1$; $z_1$), B($x_2$; $y_2$; $z_2$), C($x_3$; $y_3$; $z_3$) Докажите, что координаты точки пересечения медиан ΔABC определяются по формулам

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$, $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.

Пользуясь этой формулой, найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, если:

1) A(3; 1; 0), B(-1; 4; 4), C(1; 1; -2)

2) A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5)

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и $C(x_3; y_3; z_3)$. Пусть точка $O(x; y; z)$ является точкой пересечения медиан этого треугольника.

Рассмотрим медиану $AM$, где $M$ — середина стороны $BC$. Координаты точки $M$ находятся как полусумма соответствующих координат точек $B$ и $C$:

$x_M = \frac{x_2 + x_3}{2}$, $y_M = \frac{y_2 + y_3}{2}$, $z_M = \frac{z_2 + z_3}{2}$.

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2})$.

Известно, что точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точка $O$ делит отрезок $AM$ так, что $AO : OM = 2 : 1$.

Для нахождения координат точки $O$, которая делит отрезок $AM$ в отношении $\lambda = 2$, воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{x_A + \lambda \cdot x_M}{1 + \lambda} = \frac{x_1 + 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2}}{1 + 2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{y_A + \lambda \cdot y_M}{1 + \lambda} = \frac{y_1 + 2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2}}{1 + 2} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

$z = \frac{z_A + \lambda \cdot z_M}{1 + \lambda} = \frac{z_1 + 2 \cdot \frac{z_2 + z_3}{2}}{1 + 2} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$

Таким образом, мы доказали, что координаты точки пересечения медиан треугольника определяются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин.

1)

Найдем координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами $A(3; 1; 0)$, $B(-1; 4; 4)$, $C(1; 1; -2)$. Обозначим эту точку как $O(x; y; z)$.

$x = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1 + 4 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$z = \frac{0 + 4 + (-2)}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $(1; 2; \frac{2}{3})$.

2)

Найдем координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами $A(7; 9; 1)$, $B(-2; -3; 2)$, $C(1; 5; 5)$. Обозначим эту точку как $O(x; y; z)$.

$x = \frac{7 + (-2) + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{9 + (-3) + 5}{3} = \frac{11}{3}$

$z = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $(2; \frac{11}{3}; \frac{8}{3})$.

3.88. Радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ с осями координат составляет углы, равные $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Докажите, что $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$, где $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM}$.

Пусть радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ в прямоугольной декартовой системе координат имеет начало в точке $O(0, 0, 0)$ и конец в точке $M(x, y, z)$. Координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ равны координатам точки $M$, то есть $\overrightarrow{OM} = (x, y, z)$.

Длина (модуль) вектора $\overrightarrow{OM}$ вычисляется по формуле: $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — это углы между вектором $\overrightarrow{OM}$ и положительными направлениями координатных осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Направляющими векторами этих осей являются единичные векторы (орты) $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ и $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение.

Для угла $\alpha$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Ox$ (вектором $\vec{i}$): $\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{i}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{i}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (1, 0, 0)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{x}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Для угла $\beta$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Oy$ (вектором $\vec{j}$): $\cos\beta = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{j}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{j}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (0, 1, 0)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{y}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Для угла $\gamma$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Oz$ (вектором $\vec{k}$): $\cos\gamma = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{k}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{k}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (0, 0, 1)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{z}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Эти косинусы $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого тождества $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \left(\frac{x}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2 + \left(\frac{y}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2 + \left(\frac{z}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2$.

Упростим выражение: $\frac{x^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} + \frac{y^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} + \frac{z^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{|\overrightarrow{OM}|^2}$.

Так как квадрат длины вектора $|\overrightarrow{OM}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$, мы можем подставить это в полученное выражение: $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ доказано.

3.89. Для векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ верна формула $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Докажите эту формулу, пользуясь разложением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по координатным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.

Для доказательства формулы скалярного произведения векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ воспользуемся их разложением по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Разложение векторов в ортонормированном базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ имеет вид:
$\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$
$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (правило раскрытия скобок):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}) \cdot (x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k})$
Раскрывая скобки, получаем сумму девяти слагаемых:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2(\vec{i} \cdot \vec{i}) + x_1y_2(\vec{i} \cdot \vec{j}) + x_1z_2(\vec{i} \cdot \vec{k}) + $
$+ y_1x_2(\vec{j} \cdot \vec{i}) + y_1y_2(\vec{j} \cdot \vec{j}) + y_1z_2(\vec{j} \cdot \vec{k}) + $
$+ z_1x_2(\vec{k} \cdot \vec{i}) + z_1y_2(\vec{k} \cdot \vec{j}) + z_1z_2(\vec{k} \cdot \vec{k})$

Координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ являются единичными ($|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1$) и попарно ортогональными (перпендикулярными). Из определения скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$) следуют значения их попарных произведений:

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (так как угол равен 0, $\cos(0)=1$):
$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1^2 = 1$

Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю (так как угол равен $90^\circ$, $\cos(90^\circ)=0$):
$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i} = 0$
$\vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$
$\vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{j} = 0$

Подставим эти значения в развернутое выражение для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2(1) + x_1y_2(0) + x_1z_2(0) + y_1x_2(0) + y_1y_2(1) + y_1z_2(0) + z_1x_2(0) + z_1y_2(0) + z_1z_2(1)$

После отбрасывания слагаемых, равных нулю, получаем искомую формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство, основанное на разложении векторов по координатным ортам и свойствах скалярного произведения, приведено выше. Формула скалярного произведения векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ в координатах имеет вид $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

3.90. Даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Точками $C_1, C_2, \ldots, C_{n-1}$ отрезок $AB$ разделен на $n$ равных частей. Выразите координаты точки $C_k$ $(1 \le k \le n-1)$ через координаты точек $A, B$ и числа $k, n$.

Пусть даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Отрезок $AB$ разделен на $n$ равных частей точками $C_1, C_2, \dots, C_{n-1}$. Необходимо найти координаты произвольной точки $C_k$ при $1 \le k \le n-1$.

Точка $C_k$ делит отрезок $AB$ в определенном отношении. Поскольку весь отрезок $AB$ состоит из $n$ равных частей, а точка $C_k$ является концом $k$-ой части, считая от точки $A$, то она делит отрезок $AB$ на два отрезка: $AC_k$ и $C_kB$. Длина отрезка $AC_k$ составляет $k$ частей, а длина отрезка $C_kB$ составляет оставшиеся $n-k$ частей. Таким образом, точка $C_k$ делит отрезок $AB$ в отношении $|AC_k|:|C_kB| = k : (n-k)$.

Координаты точки, делящей отрезок с концами в точках $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в отношении $\lambda : \mu$, вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{\mu x_1 + \lambda x_2}{\lambda + \mu}$, $y = \frac{\mu y_1 + \lambda y_2}{\lambda + \mu}$, $z = \frac{\mu z_1 + \lambda z_2}{\lambda + \mu}$

В нашем случае отношение $\lambda : \mu = k : (n-k)$, следовательно, $\lambda = k$ и $\mu = n-k$. Сумма $\lambda + \mu = k + (n-k) = n$. Подставим эти значения в формулы для нахождения координат $x_k, y_k, z_k$ точки $C_k$.

Координата $x_k$ точки $C_k$ равна:$x_k = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{n}$

Координата $y_k$ точки $C_k$ равна:$y_k = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{n}$

Координата $z_k$ точки $C_k$ равна:$z_k = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{n}$

Ответ: Координаты точки $C_k(x_k; y_k; z_k)$ выражаются через координаты точек $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и числа $k, n$ следующими формулами:
$x_k = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{n}$
$y_k = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{n}$
$z_k = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{n}$