Номер 3.117, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.117. Через точку A(3; -3; 1) проведена прямая, параллельная прямой

$\begin{cases} x + 2y - z - 2 = 0, \\ 2x - y + z - 3 = 0. \end{cases}$

Напишите уравнение этой прямой.

Чтобы написать уравнение прямой в пространстве, нам нужна точка, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Точка нам дана по условию: $A(3; -3; 1)$.

Так как искомая прямая параллельна прямой, заданной системой уравнений, их направляющие векторы будут коллинеарны (можно взять тот же самый направляющий вектор).

Заданная прямая является линией пересечения двух плоскостей: $P_1: x + 2y - z - 2 = 0$ $P_2: 2x - y + z - 3 = 0$

Векторы нормалей к этим плоскостям имеют координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n_1} = (1; 2; -1)$ для плоскости $P_1$. $\vec{n_2} = (2; -1; 1)$ для плоскости $P_2$.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, являющейся линией пересечения этих плоскостей, перпендикулярен обоим векторам нормалей. Следовательно, его можно найти как векторное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$.

Вычислим векторное произведение: $\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)$ $\vec{s} = \vec{i}(2 - 1) - \vec{j}(1 + 2) + \vec{k}(-1 - 4) = 1\vec{i} - 3\vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s} = (1; -3; -5)$.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $(l; m; n)$, имеет вид: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Подставляем координаты точки $A(3; -3; 1)$ и компоненты направляющего вектора $\vec{s} = (1; -3; -5)$: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - (-3)}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$

Упрощая, получаем искомое уравнение прямой: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$

Ответ: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{-3} = \frac{z - 1}{-5}$.