Номер 3.121, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.121. Докажите, что прямые $ \begin{cases} x = 1 - 2t, \\ y = 2 + t, \\ z = 2t \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -1 + t, \\ y = 3 + 2t, \\ z = 2 + 2t \end{cases} $ пересекаются. Найдите точку пересечения и напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

Доказательство того, что прямые пересекаются

Даны две прямые, заданные параметрическими уравнениями. Для удобства введем разные параметры для каждой прямой, $t_1$ для первой и $t_2$ для второй.
Первая прямая ($L_1$):$ \begin{cases} x = 1 - 2t_1 \\ y = 2 + t_1 \\ z = 2t_1 \end{cases} $
Вторая прямая ($L_2$):$ \begin{cases} x = -1 + t_2 \\ y = 3 + 2t_2 \\ z = 2 + 2t_2 \end{cases} $
Чтобы прямые пересекались, должны существовать такие значения параметров $t_1$ и $t_2$, при которых координаты $(x, y, z)$ для обеих прямых совпадают. Для этого приравняем соответствующие выражения для координат и решим получившуюся систему уравнений:$ \begin{cases} 1 - 2t_1 = -1 + t_2 & (1) \\ 2 + t_1 = 3 + 2t_2 & (2) \\ 2t_1 = 2 + 2t_2 & (3) \end{cases} $
Из уравнения (3) выразим $t_1$. Для этого разделим обе части на 2:$t_1 = 1 + t_2$
Теперь подставим это выражение для $t_1$ в уравнение (1):$1 - 2(1 + t_2) = -1 + t_2$
$1 - 2 - 2t_2 = -1 + t_2$
$-1 - 2t_2 = -1 + t_2$
$-3t_2 = 0$
$t_2 = 0$
Зная $t_2$, найдем $t_1$:$t_1 = 1 + t_2 = 1 + 0 = 1$
Мы получили решение для первых двух уравнений: $t_1=1$ и $t_2=0$. Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти значения оставшемуся уравнению (2):
Левая часть: $2 + t_1 = 2 + 1 = 3$
Правая часть: $3 + 2t_2 = 3 + 2(0) = 3$
Поскольку $3 = 3$, найденные значения параметров удовлетворяют всей системе. Это означает, что система имеет единственное решение, и, следовательно, прямые пересекаются.

Ответ: Так как система уравнений для параметров прямых имеет решение, то прямые пересекаются.

Нахождение точки пересечения

Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно подставить найденное значение параметра в уравнения соответствующей прямой. Подставим $t_1 = 1$ в уравнения для первой прямой:$x = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
$y = 2 + 1 = 3$
$z = 2(1) = 2$
Для проверки можно подставить $t_2 = 0$ в уравнения для второй прямой:$x = -1 + 0 = -1$
$y = 3 + 2(0) = 3$
$z = 2 + 2(0) = 2$
Результаты совпадают. Таким образом, точка пересечения имеет координаты (-1, 3, 2).

Ответ: Точка пересечения M(-1, 3, 2).

Написание уравнения плоскости, проходящей через эти прямые

Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, однозначно определяется точкой, принадлежащей этой плоскости, и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей. В качестве точки можно взять найденную точку пересечения M(-1, 3, 2). В качестве векторов возьмем направляющие векторы данных прямых.
Направляющий вектор первой прямой $\vec{v_1}$ считывается по коэффициентам при параметре $t_1$:$\vec{v_1} = (-2, 1, 2)$
Направляющий вектор второй прямой $\vec{v_2}$ считывается по коэффициентам при параметре $t_2$:$\vec{v_2} = (1, 2, 2)$
Координаты векторов не пропорциональны ($\frac{-2}{1} \neq \frac{1}{2}$), следовательно, векторы не коллинеарны, и прямые не параллельны.
Вектор нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости будет перпендикулярен обоим направляющим векторам. Его можно найти как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 2) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - 2 \cdot 1) + \vec{k}((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 1)$
$\vec{n} = \vec{i}(2 - 4) - \vec{j}(-4 - 2) + \vec{k}(-4 - 1) = -2\vec{i} + 6\vec{j} - 5\vec{k}$
Таким образом, вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (-2, 6, -5)$.
Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A, B, C)$, имеет вид:$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Подставим координаты точки M(-1, 3, 2) и вектора нормали $\vec{n} = (-2, 6, -5)$:$-2(x - (-1)) + 6(y - 3) - 5(z - 2) = 0$
$-2(x + 1) + 6(y - 3) - 5(z - 2) = 0$
$-2x - 2 + 6y - 18 - 5z + 10 = 0$
$-2x + 6y - 5z - 10 = 0$
Для более удобного вида умножим все уравнение на -1:$2x - 6y + 5z + 10 = 0$

Ответ: $2x - 6y + 5z + 10 = 0$.