Вопросы?, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вы понимаете смысл термина «векторный метод решения задачи»?

2. Каково взаимное расположение точек $A, B, C$ и $D$, если векторы $\vec{AB}, \vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны?

3. Что можно сказать о векторах $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны?

4. Как определить косинус угла между прямыми $AB$ и $CD$ с помощью векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$?

1. Как вы понимаете смысл термина «векторный метод решения задачи»?

Векторный метод решения задачи — это способ решения, при котором геометрические объекты (точки, отрезки, прямые, плоскости) и их свойства (длины, углы, параллельность, перпендикулярность) переводятся на язык векторов и векторной алгебры.

Суть метода заключается в следующих шагах:

1. Введение векторов. В задаче вводятся векторы, которые соответствуют ключевым отрезкам или направлениям. Часто выбирается одна точка в качестве начала отсчета, и положения других точек задаются радиус-векторами.

2. Перевод условия на язык векторов. Условия задачи (например, равенство длин, перпендикулярность прямых, принадлежность точки отрезку) выражаются через векторные соотношения. Например, перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

3. Алгебраические преобразования. Полученные векторные уравнения или выражения решаются или упрощаются с помощью правил векторной алгебры (сложение и вычитание векторов, умножение на скаляр, скалярное и векторное произведения).

4. Обратный перевод. Результат, полученный в векторной форме, интерпретируется обратно в терминах геометрии, что и является решением исходной задачи.

Этот метод позволяет заменять сложные геометрические построения и рассуждения более формальными и алгоритмическими алгебраическими выкладками.

Ответ: Векторный метод — это подход к решению геометрических задач, основанный на замене геометрических объектов векторами и использовании операций векторной алгебры для нахождения решения.

2. Каково взаимное расположение точек A, B, C и D, если векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$ компланарны?

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В данном случае все три вектора, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, имеют общее начало — точку A.

Если три вектора с общим началом компланарны, это означает, что все они лежат в одной плоскости, проходящей через их общее начало.

Вектор $\overrightarrow{AB}$ соединяет точки A и B. Вектор $\overrightarrow{AC}$ соединяет точки A и C. Вектор $\overrightarrow{AD}$ соединяет точки A и D.

Поскольку все три вектора лежат в одной плоскости и начинаются в точке A, их концы — точки B, C и D — также должны лежать в этой же плоскости. Следовательно, все четыре точки A, B, C и D принадлежат одной и той же плоскости.

Ответ: Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

3. Что можно сказать о векторах $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, если прямые AB и CD перпендикулярны?

Вектор $\overrightarrow{AB}$ является направляющим вектором для прямой AB, так как он лежит на этой прямой. Аналогично, вектор $\overrightarrow{CD}$ является направляющим вектором для прямой CD.

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами (или смежный с ним, чтобы угол был в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Если прямые AB и CD перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что угол между их направляющими векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ также равен $90^\circ$.

Два ненулевых вектора, угол между которыми равен $90^\circ$, называются ортогональными (или перпендикулярными). Основным свойством ортогональных векторов является то, что их скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, если прямые AB и CD перпендикулярны, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ ортогональны.

Ответ: Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ ортогональны (перпендикулярны), и их скалярное произведение равно нулю: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$.

4. Как определить косинус угла между прямыми AB и CD с помощью векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$?

Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле скалярного произведения: $ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

В нашем случае в качестве векторов выступают направляющие векторы прямых: $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{CD}$.

Однако угол между прямыми по определению является острым или прямым, то есть его величина $\phi$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0 \le \phi \le \pi/2$). Косинус такого угла всегда неотрицателен ($\cos \phi \ge 0$).

Угол $\theta$ между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ может быть тупым, и в этом случае его косинус будет отрицательным. Чтобы получить косинус угла между прямыми, нужно взять модуль косинуса угла между векторами.

Следовательно, косинус угла $\phi$ между прямыми AB и CD определяется по формуле: $ \cos \phi = |\cos \theta| = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} $

Здесь $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ — скалярное произведение векторов, а $|\overrightarrow{AB}|$ и $|\overrightarrow{CD}|$ — их длины (модули).

Ответ: Косинус угла между прямыми AB и CD равен модулю скалярного произведения векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, деленному на произведение длин этих векторов: $ \cos \phi = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} $.