Номер 3.118, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.118. Дана пирамида $ABCD$ с вершинами в точках $A(2; -2; 5)$, $B(0; 7; 2)$, $C(7; 0; 2)$, $D(1; 5; 0)$. Напишите:

1) каноническое уравнение каждого ребра пирамиды;

2) уравнение плоскости каждой грани;

3) канонические уравнения прямых, проходящих через точку $A$ параллельно каждому ребру грани $BCD$.

Даны вершины пирамиды: $A(2; -2; 5)$, $B(0; 7; 2)$, $C(7; 0; 2)$, $D(1; 5; 0)$.

1) каноническое уравнение каждого ребра пирамиды

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, имеет вид $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$. Знаменатели дробей являются координатами направляющего вектора прямой $\vec{s} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Найдем направляющие векторы для каждого ребра и запишем их уравнения.

Ребро AB: точки A(2; -2; 5) и B(0; 7; 2). Направляющий вектор $\vec{AB} = (0-2; 7-(-2); 2-5) = (-2; 9; -3)$.
Уравнение прямой AB: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{9} = \frac{z-5}{-3}$.

Ребро AC: точки A(2; -2; 5) и C(7; 0; 2). Направляющий вектор $\vec{AC} = (7-2; 0-(-2); 2-5) = (5; 2; -3)$.
Уравнение прямой AC: $\frac{x-2}{5} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-5}{-3}$.

Ребро AD: точки A(2; -2; 5) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{AD} = (1-2; 5-(-2); 0-5) = (-1; 7; -5)$.
Уравнение прямой AD: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-5}{-5}$.

Ребро BC: точки B(0; 7; 2) и C(7; 0; 2). Направляющий вектор $\vec{BC} = (7-0; 0-7; 2-2) = (7; -7; 0)$.
Уравнение прямой BC: $\frac{x-0}{7} = \frac{y-7}{-7} = \frac{z-2}{0}$.

Ребро BD: точки B(0; 7; 2) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{BD} = (1-0; 5-7; 0-2) = (1; -2; -2)$.
Уравнение прямой BD: $\frac{x-0}{1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-2}{-2}$.

Ребро CD: точки C(7; 0; 2) и D(1; 5; 0). Направляющий вектор $\vec{CD} = (1-7; 5-0; 0-2) = (-6; 5; -2)$.
Уравнение прямой CD: $\frac{x-7}{-6} = \frac{y-0}{5} = \frac{z-2}{-2}$.

Ответ:
AB: $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+2}{9} = \frac{z-5}{-3}$;
AC: $\frac{x-2}{5} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-5}{-3}$;
AD: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-5}{-5}$;
BC: $\frac{x}{7} = \frac{y-7}{-7} = \frac{z-2}{0}$;
BD: $\frac{x}{1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-2}{-2}$;
CD: $\frac{x-7}{-6} = \frac{y}{5} = \frac{z-2}{-2}$.

2) уравнение плоскости каждой грани

Уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно найти из условия компланарности векторов $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$, $\vec{M_1M_3}$:$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$.

Грань ABC: A(2; -2; 5), B(0; 7; 2), C(7; 0; 2). Векторы $\vec{AB}=(-2; 9; -3)$, $\vec{AC}=(5; 2; -3)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ -2 & 9 & -3 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix} = (x-2)(9(-3) - 2(-3)) - (y+2)((-2)(-3) - 5(-3)) + (z-5)((-2)2 - 5 \cdot 9) = 0$
$-21(x-2) - 21(y+2) - 49(z-5) = 0$. Разделив на -7, получаем: $3(x-2) + 3(y+2) + 7(z-5) = 0$.
$3x - 6 + 3y + 6 + 7z - 35 = 0 \Rightarrow 3x+3y+7z-35=0$.

Грань ABD: A(2; -2; 5), B(0; 7; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{AB}=(-2; 9; -3)$, $\vec{AD}=(-1; 7; -5)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ -2 & 9 & -3 \\ -1 & 7 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-45 - (-21)) - (y+2)(10 - 3) + (z-5)(-14 - (-9)) = 0$
$-24(x-2) - 7(y+2) - 5(z-5) = 0 \Rightarrow -24x+48-7y-14-5z+25 = 0 \Rightarrow -24x-7y-5z+59=0$.
Умножив на -1, получаем: $24x+7y+5z-59=0$.

Грань ACD: A(2; -2; 5), C(7; 0; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{AC}=(5; 2; -3)$, $\vec{AD}=(-1; 7; -5)$.
$\begin{vmatrix} x-2 & y+2 & z-5 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & 7 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-10 - (-21)) - (y+2)(-25 - 3) + (z-5)(35 - (-2)) = 0$
$11(x-2) + 28(y+2) + 37(z-5) = 0 \Rightarrow 11x-22+28y+56+37z-185 = 0$.
$11x+28y+37z-151=0$.

Грань BCD: B(0; 7; 2), C(7; 0; 2), D(1; 5; 0). Векторы $\vec{BC}=(7; -7; 0)$, $\vec{BD}=(1; -2; -2)$.
$\begin{vmatrix} x-0 & y-7 & z-2 \\ 7 & -7 & 0 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = x(14 - 0) - (y-7)(-14 - 0) + (z-2)(-14 - (-7)) = 0$
$14x + 14(y-7) - 7(z-2) = 0$. Разделив на 7, получаем: $2x + 2(y-7) - (z-2) = 0$.
$2x+2y-14-z+2 = 0 \Rightarrow 2x+2y-z-12=0$.

Ответ:
ABC: $3x+3y+7z-35=0$;
ABD: $24x+7y+5z-59=0$;
ACD: $11x+28y+37z-151=0$;
BCD: $2x+2y-z-12=0$.

3) канонические уравнения прямых, проходящих через точку А параллельно каждому ребру грани BCD

Прямая, проходящая через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ параллельно вектору $\vec{s}=(l,m,n)$, имеет уравнение $\frac{x-x_A}{l} = \frac{y-y_A}{m} = \frac{z-z_A}{n}$. В качестве направляющих векторов $\vec{s}$ возьмем векторы ребер грани BCD, которые были найдены в пункте 1. Точка A имеет координаты A(2; -2; 5).

Прямая, проходящая через A параллельно ребру BC:
Направляющий вектор $\vec{BC} = (7; -7; 0)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{7} = \frac{y-(-2)}{-7} = \frac{z-5}{0} \Rightarrow \frac{x-2}{7} = \frac{y+2}{-7} = \frac{z-5}{0}$.

Прямая, проходящая через A параллельно ребру BD:
Направляющий вектор $\vec{BD} = (1; -2; -2)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{1} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-5}{-2} \Rightarrow \frac{x-2}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-5}{-2}$.

Прямая, проходящая через A параллельно ребру CD:
Направляющий вектор $\vec{CD} = (-6; 5; -2)$.
Уравнение прямой: $\frac{x-2}{-6} = \frac{y-(-2)}{5} = \frac{z-5}{-2} \Rightarrow \frac{x-2}{-6} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{-2}$.

Ответ:
Параллельно BC: $\frac{x-2}{7} = \frac{y+2}{-7} = \frac{z-5}{0}$;
Параллельно BD: $\frac{x-2}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-5}{-2}$;
Параллельно CD: $\frac{x-2}{-6} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{-2}$.