gdz.top
Номер 3.130, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-519-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 3. Прямоугольная система координат в пространстве и векторы. 3.6. Применение векторов при решении задач - номер 3.130, страница 104.
№3.129
№3.130 (с. 104)
Условие rus. №3.130 (с. 104)
3.130. Покажите, что точки $A(2; -1; -2)$, $B(1; 2; 1)$, $C(2; 3; 0)$ и $D(5; 0; -6)$ лежат в одной плоскости.
Условия kz. №3.130 (с. 104)
Решение. №3.130 (с. 104)
Решение 2 (rus). №3.130 (с. 104)
Чтобы доказать, что четыре точки A(2; -1; -2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 0) и D(5; 0; -6) лежат в одной плоскости, необходимо и достаточно показать, что три вектора, построенные на этих точках с общим началом, являются компланарными (лежат в одной плоскости).
Выберем точку A в качестве общего начала и определим координаты векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.
Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.
$\vec{AB} = (1 - 2; 2 - (-1); 1 - (-2)) = (-1; 3; 3)$
$\vec{AC} = (2 - 2; 3 - (-1); 0 - (-2)) = (0; 4; 2)$
$\vec{AD} = (5 - 2; 0 - (-1); -6 - (-2)) = (3; 1; -4)$
Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ вычисляется как определитель матрицы, строки которой являются координатами этих векторов.
$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix}$
Вычислим значение этого определителя, разложив его по первой строке:
$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = -1(4 \cdot (-4) - 2 \cdot 1) - 3(0 \cdot (-4) - 2 \cdot 3) + 3(0 \cdot 1 - 4 \cdot 3)$
$= -1(-16 - 2) - 3(0 - 6) + 3(0 - 12)$
$= -1(-18) - 3(-6) + 3(-12)$
$= 18 + 18 - 36 = 0$
Так как смешанное произведение векторов равно нулю, то векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ компланарны. Поскольку эти векторы имеют общее начало (точку A), все четыре точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.
Ответ: Смешанное произведение векторов, построенных на данных точках, равно нулю ($\begin{vmatrix} -1 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0$), следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 3.130 расположенного на странице 104 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №3.130 (с. 104), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.