Номер 3.132, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.132. Даны координаты трех нижних вершин $O(0;0;0)$, $A(2;-3;0)$, $C(3; 2; 0)$ и одной верхней вершины $B_1(3; 0; 4)$ параллелепипеда $OABC O_1A_1B_1C_1$. Найдите координаты его других вершин.

Для решения задачи используем свойства параллелепипеда. Основание $OABC$ является параллелограммом, а боковые ребра параллелепипеда равны и параллельны, что означает равенство векторов смещения: $\vec{OO_1} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Нахождение координат вершины B

Поскольку $OABC$ — параллелограмм с вершиной $O$ в начале координат, для векторов справедливо правило сложения: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$. Координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ совпадают с координатами точек $A(2;-3;0)$ и $C(3;2;0)$.

Вычисляем координаты вектора $\vec{OB}$: $\vec{OB} = (2+3; -3+2; 0+0) = (5; -1; 0)$.

Координаты точки $B$ равны координатам вектора $\vec{OB}$.

Ответ: $B(5; -1; 0)$.

Для нахождения координат вершин верхнего основания найдем вектор смещения $\vec{v}$, который равен вектору $\vec{BB_1}$. Используем найденные координаты $B(5; -1; 0)$ и данные из условия $B_1(3; 0; 4)$:

$\vec{v} = \vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (3 - 5; 0 - (-1); 4 - 0) = (-2; 1; 4)$.

Этот вектор одинаков для всех пар соответствующих вершин: $\vec{OO_1} = \vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{v}$. Теперь найдем координаты остальных вершин.

Нахождение координат вершины O₁

Координаты точки $O_1$ найдем, прибавив к координатам точки $O(0;0;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $O_1 = (0 + (-2); 0 + 1; 0 + 4) = (-2; 1; 4)$.

Ответ: $O_1(-2; 1; 4)$.

Нахождение координат вершины A₁

Координаты точки $A_1$ найдем, прибавив к координатам точки $A(2;-3;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $A_1 = (2 + (-2); -3 + 1; 0 + 4) = (0; -2; 4)$.

Ответ: $A_1(0; -2; 4)$.

Нахождение координат вершины C₁

Координаты точки $C_1$ найдем, прибавив к координатам точки $C(3;2;0)$ координаты вектора смещения $\vec{v}$: $C_1 = (3 + (-2); 2 + 1; 0 + 4) = (1; 3; 4)$.

Ответ: $C_1(1; 3; 4)$.