Номер 3.138, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.138. Точка K расположена на расстоянии $d$ от плоскости правильного треугольника $ABC$. Точка $E$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ и $AB = a$. Найдите значение суммы $KA^2 + KB^2 + KC^2$.

Пусть плоскость правильного треугольника $ABC$ является плоскостью $Oxy$. Поскольку точка $E$ является точкой пересечения медиан правильного треугольника, она также является его центром масс (центроидом) и центром описанной окружности.

Введём в рассмотрение трёхмерную систему координат. Для удобства разместим начало координат в точке $E$. Тогда плоскость треугольника $ABC$ будет совпадать с плоскостью $z=0$.

В условии задачи сказано, что точка $K$ расположена на расстоянии $d$ от плоскости треугольника. В задачах по стереометрии, если не указано иное, предполагается, что проекция точки на плоскость совпадает с каким-либо "особым" центром фигуры. В данном случае, наиболее логично предположить, что проекция точки $K$ на плоскость $ABC$ — это и есть точка $E$. Таким образом, отрезок $KE$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина равна $d$, то есть $KE = d$.

Поскольку $KE \perp \text{пл.} ABC$, то $KE$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $KE \perp EA$, $KE \perp EB$ и $KE \perp EC$. Следовательно, треугольники $\triangle KEA$, $\triangle KEB$ и $\triangle KEC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $E$.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$KA^2 = KE^2 + EA^2$

$KB^2 = KE^2 + EB^2$

$KC^2 = KE^2 + EC^2$

Сложим эти три равенства:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = (KE^2 + EA^2) + (KE^2 + EB^2) + (KE^2 + EC^2) = 3KE^2 + EA^2 + EB^2 + EC^2$.

Так как $E$ — центр описанной окружности правильного треугольника $ABC$, то расстояния от $E$ до вершин треугольника равны радиусу этой окружности $R$:

$EA = EB = EC = R$.

Следовательно, сумма принимает вид:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = 3KE^2 + 3R^2$.

Нам известно, что $KE = d$. Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$. Высота (она же медиана) $h$ правильного треугольника равна:

$h = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Точка пересечения медиан $E$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до вершины, то есть $2/3$ длины медианы:

$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Тогда квадрат радиуса:

$R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3}$.

Подставим значения $KE^2 = d^2$ и $R^2 = a^2/3$ в выражение для искомой суммы:

$KA^2 + KB^2 + KC^2 = 3d^2 + 3R^2 = 3d^2 + 3\left(\frac{a^2}{3}\right) = 3d^2 + a^2$.

Ответ: $3d^2 + a^2$.