Вопросы?, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое параллельное проектирование?

2. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

3. Какое параллельное проектирование называется ортогональным проектированием?

4. Какой формулой определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

5. Сформулируйте основные правила изображения пространственных фигур на плоскости.

1. Что такое параллельное проектирование?

Параллельное проектирование — это один из способов изображения пространственных фигур на плоскости. Для его осуществления задаются плоскость проекций (обозначим её $ \pi $) и направление проектирования — прямая $l$, пересекающая плоскость $ \pi $.

Чтобы построить проекцию произвольной точки $A$ пространства, через неё проводят прямую, параллельную прямой $l$. Точка пересечения этой прямой с плоскостью $ \pi $ и будет параллельной проекцией точки $A$ (обозначается $A'$). Совокупность проекций всех точек данной фигуры $F$ называется её параллельной проекцией $F'$.

Ответ: Параллельное проектирование — это отображение точек пространства на плоскость, при котором все проецирующие прямые параллельны друг другу и заданному направлению.

2. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

Параллельное проектирование обладает рядом важных свойств, которые позволяют сохранять некоторые характеристики исходных фигур:

1. Проекцией прямой является прямая (если исходная прямая не параллельна направлению проектирования) или точка (если прямая параллельна направлению проектирования).
2. Проекцией отрезка является отрезок.
3. Если точка делит отрезок в определенном отношении, то ее проекция делит проекцию отрезка в том же самом отношении. В частности, середина отрезка проецируется в середину его проекции.
4. Проекции параллельных отрезков параллельны друг другу или лежат на одной прямой. Отношение длин таких отрезков сохраняется.
5. Длины отрезков и величины углов, как правило, не сохраняются.

Ответ: Основные свойства параллельного проектирования: проекция прямой — прямая, сохранение параллельности отрезков и отношения их длин, сохранение отношения, в котором точка делит отрезок.

3. Какое параллельное проектирование называется ортогональным проектированием?

Ортогональное (или прямоугольное) проектирование — это частный случай параллельного проектирования, при котором направление проектирования $l$ перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций $ \pi $.

Это означает, что все проецирующие прямые, соединяющие точки фигуры с их проекциями, образуют прямой угол с плоскостью проекций. Ортогональное проектирование широко используется в инженерной графике (например, для построения чертежей) из-за его наглядности и сохранения некоторых метрических свойств фигур, параллельных плоскости проекции.

Ответ: Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование, у которого направление проектирования перпендикулярно плоскости проекций.

4. Какой формулой определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника и углом между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Если $S$ — площадь многоугольника, а $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции, то они связаны следующей формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos{\alpha}$

Здесь $ \alpha $ — это угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Этот угол находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если многоугольник параллелен плоскости проекции, то $\alpha = 0^\circ$, $\cos{\alpha} = 1$ и $S_{пр} = S$. Если многоугольник перпендикулярен плоскости проекции, то $\alpha = 90^\circ$, $\cos{\alpha} = 0$ и $S_{пр} = 0$ (проекцией будет отрезок).

Ответ: Площадь ортогональной проекции многоугольника определяется формулой $S_{пр} = S \cdot \cos{\alpha}$, где $S$ — площадь многоугольника, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

5. Сформулируйте основные правила изображения пространственных фигур на плоскости.

При изображении пространственных фигур на плоскости (например, на бумаге или экране) с помощью параллельного проектирования придерживаются следующих основных правил, которые вытекают из его свойств:

1. Сохранение параллельности: Параллельные прямые в пространстве изображаются параллельными прямыми на плоскости.
2. Сохранение отношения длин: Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. Это позволяет, например, изображать середину отрезка как середину его проекции.
3. Изображение плоских фигур: Произвольная плоская фигура (например, треугольник, параллелограмм) изображается на плоскости проекций фигурой того же вида или вырожденной в отрезок. Например, треугольник всегда изображается треугольником, а параллелограмм — параллелограммом. Круг, как правило, изображается эллипсом.
4. Правило видимости: Для наглядности чертежа видимые линии и контуры фигуры изображают сплошными линиями, а невидимые (скрытые другими частями фигуры) — штриховыми (пунктирными) линиями.

Ответ: Основные правила изображения пространственных фигур на плоскости: параллельные прямые изображаются параллельными; сохраняется отношение длин отрезков на параллельных прямых; используются условные изображения для стандартных фигур (круг — эллипс); видимые линии изображаются сплошными, а невидимые — штриховыми.