Номер 2.94, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.94. Могут ли непараллельные прямые проектироваться на плоскости в виде параллельных прямых? Приведите пример.

Могут ли непараллельные прямые проектироваться на плоскости в виде параллельных прямых?

Да, непараллельные прямые в пространстве могут проектироваться на плоскость в виде параллельных прямых. Это возможно при использовании центральной проекции (также известной как перспективная проекция), но, как правило, невозможно при параллельной проекции.

Центральная проекция определяется центром проекции $O$ (точкой, из которой ведется наблюдение) и плоскостью проекции $\pi$ (на которую проецируется изображение). Проекцией точки $A$ является точка $A'$, в которой прямая $OA$ пересекает плоскость $\pi$. Проекцией прямой $l$ является прямая $l'$, которая представляет собой пересечение плоскости, проходящей через центр проекции $O$ и прямую $l$, с плоскостью проекции $\pi$.

Пусть в пространстве даны две непараллельные прямые, $a$ и $b$. Рассмотрим два возможных случая их взаимного расположения:

1. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Пусть они пересекаются в точке $P$. Для того чтобы их проекции $a'$ и $b'$ на плоскость $\pi$ были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы прямая $OP$, соединяющая центр проекции $O$ с точкой пересечения прямых $P$, была параллельна плоскости проекции $\pi$.
Обоснование: Проекция прямой $a$ есть линия пересечения плоскости $(O, a)$ с плоскостью $\pi$, обозначим ее $a'$. Аналогично, проекция прямой $b$ есть $b' = (O, b) \cap \pi$. Обе проекции $a'$ и $b'$ лежат в одной плоскости $\pi$. Они будут параллельны, если не пересекаются. Точка пересечения проекций, если она существует, должна лежать на линии пересечения плоскостей $(O, a)$ и $(O, b)$. Эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общие точки — $O$ и $P$. То есть, они пересекаются по прямой $OP$. Таким образом, точка пересечения $a'$ и $b'$ должна лежать на прямой $OP$ и одновременно в плоскости $\pi$. Если прямая $OP$ параллельна плоскости $\pi$, то у них нет общих точек. Следовательно, проекции $a'$ и $b'$ не пересекаются, а значит, они параллельны.

2. Прямые $a$ и $b$ скрещиваются. В этом случае через центр проекции $O$ и каждую из прямых $a$ и $b$ проходят плоскости $\alpha = (O, a)$ и $\beta = (O, b)$. Эти плоскости пересекаются по некоторой прямой $c$, проходящей через точку $O$. Проекции $a'$ и $b'$ будут параллельны, если прямая $c$ параллельна плоскости проекции $\pi$.

Таким образом, в обоих случаях существует геометрическая конфигурация, при которой проекции непараллельных прямых становятся параллельными.

Ответ: Да, могут, при центральной проекции.

Приведите пример.

Рассмотрим наглядный пример. Представьте себе двускатную крышу дома. Линии ската крыши, сходящиеся к коньку (обозначены как $a$ и $b$ на рисунке), являются пересекающимися в точке $P$ прямыми.

Наблюдатель (центр проекции $O$) смотрит на объект. Плоскость проекции $\pi$ (например, экран фотоаппарата) расположена между наблюдателем и объектом. Если наблюдатель находится на такой высоте, что его глаз $O$ и точка пересечения прямых $P$ находятся на одной линии, параллельной плоскости проекции $\pi$, то проекции пересекающихся линий $a$ и $b$ на плоскости $\pi$ будут двумя параллельными прямыми $a'$ и $b'$. В данном примере на рисунке они изображены как параллельные вертикальные линии.

Математический пример:

Рассмотрим трехмерную систему координат. Пусть центр проекции находится в начале координат: $O = (0, 0, 0)$. Пусть плоскость проекции $\pi$ задана уравнением $x = 2$. Возьмем две прямые, пересекающиеся в точке $P=(0, 3, 0)$. Заметим, что вектор $\vec{OP}=(0, 3, 0)$ параллелен плоскости $x=2$, так как его скалярное произведение с нормальным вектором плоскости $\vec{n}=(1, 0, 0)$ равно нулю. Пусть первая прямая $a$ проходит через точки $P(0, 3, 0)$ и $Q(2, 4, 2)$. Ее параметрическое уравнение: $a(t) = (0, 3, 0) + t \cdot (2, 1, 2) = (2t, 3+t, 2t)$. Пусть вторая прямая $b$ проходит через точки $P(0, 3, 0)$ и $R(2, 5, -2)$. Ее параметрическое уравнение: $b(s) = (0, 3, 0) + s \cdot (2, 2, -2) = (2s, 3+2s, -2s)$.

Найдем их проекции на плоскость $\pi: x=2$. Проекция точки $(x_0, y_0, z_0)$ из центра $O$ на плоскость $x=2$ — это точка $(2, y_0 \cdot \frac{2}{x_0}, z_0 \cdot \frac{2}{x_0})$ для $x_0 \neq 0$.

Проекция прямой $a$: для точки $(2t, 3+t, 2t)$ ее проекция $a'$ имеет координаты $(2, (3+t) \cdot \frac{2}{2t}, 2t \cdot \frac{2}{2t}) = (2, \frac{3}{t}+1, 2)$. При изменении параметра $t \neq 0$, точка проекции описывает прямую, заданную уравнениями $x=2, z=2$. Это прямая, параллельная оси $OY$.

Проекция прямой $b$: для точки $(2s, 3+2s, -2s)$ ее проекция $b'$ имеет координаты $(2, (3+2s) \cdot \frac{2}{2s}, -2s \cdot \frac{2}{2s}) = (2, \frac{3}{s}+2, -2)$. При изменении параметра $s \neq 0$, точка проекции описывает прямую, заданную уравнениями $x=2, z=-2$. Это также прямая, параллельная оси $OY$.

Проекция $a'$ (линия $x=2, z=2$) и проекция $b'$ (линия $x=2, z=-2$) являются параллельными прямыми.

Ответ: Примером могут служить две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ в пространстве, которые проектируются из центра $O$ на плоскость $\pi$, если прямая, соединяющая центр $O$ с точкой пересечения прямых $a$ и $b$, параллельна плоскости $\pi$.