Номер 2.80, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.80. Из точки $A$, удаленной от плоскости на расстоянии $10$ см, проведены наклонные $AB$ и $AC$ под углом $45^\circ$ к плоскости. Найдите $BC$, если угол между проекциями наклонных равен $120^\circ$.

Пусть $ \pi $ - данная плоскость. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $ \pi $. Тогда длина отрезка $AH$ равна расстоянию от точки $A$ до плоскости, то есть $AH = 10$ см.

Отрезки $AB$ и $AC$ являются наклонными к плоскости $ \pi $, а отрезки $HB$ и $HC$ - их проекциями на эту плоскость. Угол между наклонной и плоскостью - это угол между самой наклонной и ее проекцией. По условию, $ \angle ABH = 45^\circ $ и $ \angle ACH = 45^\circ $.

Рассмотрим $ \triangle AHB $. Он является прямоугольным, так как $AH$ - перпендикуляр к плоскости $ \pi $, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости ($ \angle AHB = 90^\circ $). В этом треугольнике катет $AH = 10$ см, а острый угол $ \angle ABH = 45^\circ $. Следовательно, $ \triangle AHB $ является равнобедренным прямоугольным треугольником, откуда $HB = AH = 10$ см.

Аналогично, $ \triangle AHC $ также является прямоугольным ($ \angle AHC = 90^\circ $) с катетом $AH = 10$ см и острым углом $ \angle ACH = 45^\circ $. Значит, $ \triangle AHC $ - равнобедренный, и $HC = AH = 10$ см.

Теперь рассмотрим $ \triangle BHC $, который лежит в плоскости $ \pi $. Нам известны длины двух его сторон, $HB = 10$ см и $HC = 10$ см, а также угол между ними. По условию, угол между проекциями наклонных равен $120^\circ$, то есть $ \angle BHC = 120^\circ $.

Для нахождения длины стороны $BC$ применим теорему косинусов к $ \triangle BHC $: $BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 \cdot HB \cdot HC \cdot \cos(\angle BHC)$

Подставим известные значения в формулу: $BC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $ \cos(120^\circ) = -1/2 $, получаем: $BC^2 = 100 + 100 - 200 \cdot (-\frac{1}{2})$ $BC^2 = 200 + 100 = 300$

Из этого следует, что длина отрезка $BC$ равна: $BC = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.