Номер 2.76, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. Один катет равнобедренного прямоугольного треугольника принадлежит плоскости $\alpha$, а другой катет образует с ней угол, равный $45^\circ$. Найдите угол между гипотенузой треугольника и плоскостью $\alpha$.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC$. Обозначим их длину как $a$. Тогда, по теореме Пифагора, длина гипотенузы $AB$ равна $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

По условию задачи, один катет, пусть это будет катет $BC$, принадлежит плоскости $\alpha$. Другой катет, $AC$, образует с плоскостью $\alpha$ угол, равный $45^\circ$. Требуется найти угол между гипотенузой $AB$ и плоскостью $\alpha$.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Для нахождения этого угла выполним построение. Опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\alpha$ и обозначим его основание как $A'$. Тогда отрезок $A'B$ является проекцией гипотенузы $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $A'C$ — проекцией катета $AC$ на эту же плоскость.

По определению, угол между катетом $AC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle ACA'$, который по условию равен $45^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'C$. Угол $\angle AA'C = 90^\circ$, поскольку $AA'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$. Используя тригонометрические соотношения в этом треугольнике, найдем длину перпендикуляра $AA'$:$AA' = AC \cdot \sin(\angle ACA') = a \cdot \sin(45^\circ) = a\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Искомый угол $\gamma$ между гипотенузой $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle ABA'$, образованный гипотенузой $AB$ и её проекцией $A'B$. Для нахождения этого угла рассмотрим треугольник $AA'B$. Так как $AA'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $A'B$ лежит в этой плоскости, то $AA' \perp A'B$. Следовательно, треугольник $AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$.

В прямоугольном треугольнике $AA'B$ синус угла $\gamma = \angle ABA'$ равен отношению противолежащего катета $AA'$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\gamma) = \frac{AA'}{AB}$.

Мы знаем длины обеих этих сторон: $AA' = a\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $AB = a\sqrt{2}$. Подставим эти значения в формулу:$\sin(\gamma) = \frac{a\frac{\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, искомый угол равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.