Номер 2.68, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.68. Точки $A$ и $B$ принадлежат одной грани двугранного угла. Из этих точек опущены перпендикуляры $AC=10$ см и $BD=20$ см на другую грань и перпендикуляры $AE = 30$ см и $BF$ на ребро двугранного угла. Найдите $BF$ (рис. 2.38).

Рис. 2.38

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общей границей (ребром) $l$.Согласно условию, точки $A$ и $B$ принадлежат одной грани, пусть это будет грань $\alpha$.Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BD$ на другую грань, $\beta$. Это означает, что $AC \perp \beta$ и $BD \perp \beta$. Следовательно, точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$.Также из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AE$ и $BF$ на ребро двугранного угла $l$. Это означает, что $AE \perp l$ и $BF \perp l$. Так как $A, B \in \alpha$, то отрезки $AE$ и $BF$ лежат в плоскости $\alpha$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, лежащими в разных гранях и перпендикулярными ребру.

Рассмотрим точку $E$ на ребре $l$. У нас есть отрезок $AE \subset \alpha$, и $AE \perp l$. Так как $AC \perp \beta$, а ребро $l \subset \beta$, то $AC \perp l$. Прямые $AE$ и $AC$ перпендикулярны прямой $l$, следовательно, плоскость, проходящая через $AE$ и $AC$ (плоскость $\triangle ACE$), перпендикулярна ребру $l$. Линия пересечения этой плоскости с гранью $\beta$ — это прямая $CE$. Так как плоскость $(ACE) \perp l$, то и прямая $CE \perp l$.Таким образом, угол $\angle AEC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Поскольку $AC \perp \beta$ и отрезок $CE$ лежит в плоскости $\beta$, то $AC \perp CE$. Следовательно, треугольник $\triangle ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $AE$. Синус линейного угла $\phi$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AE$:$\sin \phi = \frac{AC}{AE}$

Аналогичные рассуждения проведем для точки $B$. Угол $\angle BFD$ также является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle BFD = \phi$. Треугольник $\triangle BDF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ (так как $BD \perp \beta$ и $FD \subset \beta$), и гипотенузой $BF$. Синус этого же угла $\phi$ равен:$\sin \phi = \frac{BD}{BF}$

Так как величина линейного угла двугранного угла постоянна вдоль всего ребра, мы можем приравнять полученные выражения для синуса:$\frac{AC}{AE} = \frac{BD}{BF}$

Подставим известные из условия значения: $AC = 10$ см, $BD = 20$ см, $AE = 30$ см.$\frac{10}{30} = \frac{20}{BF}$

Упростим левую часть уравнения:$\frac{1}{3} = \frac{20}{BF}$

Отсюда находим $BF$:$BF = 3 \cdot 20 = 60$ см.

Ответ: $BF = 60$ см.