Номер 2.29, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.29. Даны прямые $a$, $b$ и плоскость $\alpha$ такие, что $a \perp b$, $a \perp \alpha$, $b \not\subset \alpha$. Докажите, что $b \parallel \alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного или прямым доказательством с использованием вспомогательных построений. Прямое доказательство в данном случае более наглядно.

Доказательство

1. Через произвольную точку $M$ на прямой $b$ проведем прямую $c$ так, что $c \parallel a$.

2. Согласно условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Так как мы построили прямую $c$ параллельно $a$, то по теореме о связи параллельности прямых и их перпендикулярности к плоскости, прямая $c$ также будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $c \perp \alpha$.

3. По условию, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны ($a \perp b$). Так как $c \parallel a$, то прямая $c$ также перпендикулярна прямой $b$. То есть, $c \perp b$.

4. Прямые $b$ и $c$ пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельными или скрещивающимися, так как обе проходят через точку $M$ и при этом перпендикулярны) и, следовательно, задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

5. Плоскость $\beta$ содержит прямую $c$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим их линию пересечения как прямую $d$. Таким образом, $d = \alpha \cap \beta$.

6. Так как прямая $c \perp \alpha$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $d$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$), то $c \perp d$.

7. Теперь рассмотрим прямые $b$, $c$ и $d$, лежащие в одной плоскости $\beta$. Мы установили, что $c \perp b$ и $c \perp d$. По теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $b \parallel d$.

8. В итоге мы получили, что прямая $b$ параллельна прямой $d$, которая лежит в плоскости $\alpha$. По условию задачи, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

9. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, $b \parallel \alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$, доказано.