Номер 2.25, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Покажите, что отрезок $AC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$.

Для доказательства того, что отрезок $AC$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$ (обозначим эту плоскость как $\alpha = (BB_1D_1)$), воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость $\alpha$, проходящая через точки $B$, $B_1$ и $D_1$, является диагональным сечением куба $BB_1D_1D$. Это следует из того, что ребра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны, а значит, четырехугольник $BB_1D_1D$ является параллелограммом (в данном случае — прямоугольником), и все его вершины лежат в одной плоскости.

В качестве двух пересекающихся прямых в плоскости $\alpha$ выберем прямые $BD$ и $BB_1$. Эти прямые лежат в плоскости сечения $BB_1D_1D$ и пересекаются в точке $B$.

1. Докажем, что $AC \perp BD$.
Грань $ABCD$ куба является квадратом. Отрезки $AC$ и $BD$ — это диагонали этого квадрата. По свойству диагоналей квадрата, они взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

2. Докажем, что $AC \perp BB_1$.
Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$ по определению куба. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$. По определению перпендикулярности прямой к плоскости, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AC$. Следовательно, $AC \perp BB_1$.

Мы показали, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $BB_1$, которые лежат в плоскости $(BB_1D_1)$. Таким образом, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BB_1D_1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок $AC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярен плоскости, проходящей через точки $B$, $B_1$ и $D_1$.