Номер 2.21, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.21. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$. Отрезки $AC$ и $BD$, расположенные по одну сторону плоскости $\alpha$, перпендикулярны ей. Найдите:

1) углы четырехугольника $ABCD$, если $AB = BD = 3$ см, $AC = 6$ см;

2) периметр четырехугольника $ABCD$, если $AB=8$ см, $AC=21$ см, $BD=6$ см.

Рис. 2.15

Поскольку отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу ($AC \parallel BD$). Точки $A, C, B, D$ лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Фигура, образованная этими точками, является трапецией. Пусть это будет трапеция $ACDB$ с основаниями $AC$ и $BD$.

Так как $AC \perp \alpha$ и точка $A$ лежит в $\alpha$, то отрезок $AC$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $A$. В частности, $AC \perp AB$. Следовательно, угол $\angle CAB = 90^\circ$.

Аналогично, так как $BD \perp \alpha$ и точка $B$ лежит в $\alpha$, то $BD \perp AB$. Следовательно, угол $\angle DBA = 90^\circ$.

Таким образом, четырехугольник $ACDB$ — это прямоугольная трапеция, где $AC$ и $BD$ — параллельные основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота трапеции). Углы при вершинах $A$ и $B$ этой трапеции прямые.

Для наглядности представим эту трапецию на плоскости, а также вспомогательные построения для решения задачи.

1) Найти углы четырехугольника $ABCD$, если $AB = 3$ см, $BD = 3$ см, $AC = 6$ см.

Как мы установили, фигура является прямоугольной трапецией $ACDB$ с углами $\angle CAB = 90^\circ$ и $\angle DBA = 90^\circ$.

Для нахождения двух других углов, $\angle ACD$ и $\angle CDB$, проведем из точки $D$ высоту $DH$ к основанию $AC$. Точка $H$ будет лежать на отрезке $AC$.

Полученный четырехугольник $ABDH$ является прямоугольником, так как у него все углы прямые. Следовательно, его противоположные стороны равны:

$DH = AB = 3$ см,

$AH = BD = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$ (угол $\angle DHC = 90^\circ$).

Длина катета $HC$ равна разности длин $AC$ и $AH$:

$HC = AC - AH = 6 - 3 = 3$ см.

Мы получили, что в прямоугольном треугольнике $\triangle DHC$ катеты $DH$ и $HC$ равны: $DH = HC = 3$ см. Это означает, что $\triangle DHC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.

Следовательно, угол $\angle HCD = 45^\circ$. Этот угол является углом $\angle C$ трапеции, то есть $\angle ACD = 45^\circ$.

Другой острый угол треугольника, $\angle HDC = 45^\circ$.

Угол $\angle D$ трапеции, то есть $\angle CDB$, состоит из двух углов: $\angle CDH$ и $\angle HDB$.

Угол $\angle HDB$ является прямым, так как $ABDH$ — прямоугольник, значит $\angle HDB = 90^\circ$.

Тогда $\angle CDB = \angle CDH + \angle HDB = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $90^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

Ответ: Углы четырехугольника равны $90^\circ, 90^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

2) Найти периметр четырехугольника $ABCD$, если $AB=8$ см, $AC=21$ см, $BD=6$ см.

Периметр трапеции $ACDB$ равен сумме длин ее сторон: $P = AC + CD + DB + BA$.

Нам известны длины трех сторон: $AC=21$ см, $BD=6$ см, $AB=8$ см.

Найдем длину четвертой стороны $CD$. Для этого, как и в первом пункте, проведем высоту $DH$ из точки $D$ на основание $AC$.

$DH = AB = 8$ см,

$AH = BD = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$.

Найдем длину катета $HC$:

$HC = AC - AH = 21 - 6 = 15$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle DHC$:

$CD^2 = DH^2 + HC^2$

$CD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$CD = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь можем вычислить периметр:

$P = AC + CD + DB + BA = 21 + 17 + 6 + 8 = 52$ см.

Ответ: Периметр четырехугольника равен 52 см.