Номер 2.20, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ и B, $D \in \alpha$, $AC \cap \alpha = P$. Найдите $CD$, если $AB = 12$ см, $BD = PD = 3$ см (рис.2.15).

Рис. 2.15

По условию задачи прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Следовательно, $AB \parallel CD$.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, они, а также все точки $A, B, C, D$, лежат в одной плоскости $\beta$. По условию, точка $P$ является точкой пересечения прямой $AC$ и плоскости $\alpha$, значит, точка $P$ также лежит на прямой $AC$ и, следовательно, в плоскости $\beta$. Таким образом, все точки $A, B, C, D, P$ лежат в одной плоскости.

Рассмотрим треугольники $\triangle PBA$ и $\triangle PDC$, лежащие в этой плоскости $\beta$.

Так как $AB \perp \alpha$ и прямая $PB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AB \perp PB$. Следовательно, $\triangle PBA$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle PBA = 90^\circ$.

Аналогично, так как $CD \perp \alpha$ и прямая $PD$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CD \perp PD$. Следовательно, $\triangle PDC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle PDC = 90^\circ$.

Треугольники $\triangle PBA$ и $\triangle PDC$ имеют общий угол $\angle P$. Таким образом, эти треугольники подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий острый угол).

Из подобия треугольников ($\triangle PDC \sim \triangle PBA$) следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{CD}{AB} = \frac{PD}{PB} $

По условию нам даны длины отрезков: $AB = 12$ см, $PD = 3$ см, $BD = 3$ см. Точки $P, D, B$ лежат на одной прямой (линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $\alpha$). Найдем длину отрезка $PB$:

$ PB = PD + DB = 3 + 3 = 6 $ см.

Теперь подставим все известные значения в записанную ранее пропорцию, чтобы найти $CD$:

$ \frac{CD}{12} = \frac{3}{6} $

Упростим дробь в правой части:

$ \frac{CD}{12} = \frac{1}{2} $

Выразим $CD$:

$ CD = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.