Номер 2.24, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. Определите множество точек, расположенных в пространстве на одинаковом расстоянии от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Нам нужно найти множество всех точек $M$ в пространстве, для которых выполняется условие $MA = MB = MC$.

Рассмотрим сначала множество точек, равноудаленных от двух данных точек, например, от $A$ и $B$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Обозначим эту плоскость как $\alpha_1$. Таким образом, для любой точки $M \in \alpha_1$ выполняется равенство $MA = MB$.

Аналогично, множество точек, равноудаленных от точек $B$ и $C$, — это плоскость $\alpha_2$, перпендикулярная отрезку $BC$ и проходящая через его середину. Для любой точки $M \in \alpha_2$ выполняется равенство $MB = MC$.

Искомое множество точек должно удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть принадлежать пересечению плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Плоскость $\alpha_1$ перпендикулярна прямой $AB$, а плоскость $\alpha_2$ перпендикулярна прямой $BC$. Поскольку по условию точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, прямые $AB$ и $BC$ не параллельны и не совпадают. Следовательно, плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$, перпендикулярные им, также не параллельны и не совпадают. Пересечением двух непараллельных плоскостей является прямая. Обозначим эту прямую как $l$.

Для любой точки $M$, принадлежащей прямой $l$, одновременно выполняются равенства $MA = MB$ и $MB = MC$, из чего следует, что $MA = MB = MC$. Таким образом, любая точка на прямой $l$ равноудалена от всех трех точек $A$, $B$ и $C$.

Определим положение этой прямой $l$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость, в которой лежит треугольник $\triangle ABC$. Обозначим эту плоскость как $\Pi$.

Прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha_1$ (перпендикулярной $AB$) и плоскости $\alpha_2$ (перпендикулярной $BC$). Прямая, лежащая в двух плоскостях, перпендикулярна их нормальным векторам. В нашем случае, прямая $l$ перпендикулярна векторам $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как эти векторы лежат в плоскости $\Pi$ и не коллинеарны, прямая $l$ перпендикулярна всей плоскости $\Pi$.

Теперь найдем точку, через которую проходит прямая $l$. В плоскости $\Pi$ существует единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника $\triangle ABC$ — это центр $O$ описанной около этого треугольника окружности. Точка $O$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника в плоскости $\Pi$. Так как точка $O$ равноудалена от $A$, $B$ и $C$, она должна принадлежать искомому множеству точек, то есть прямой $l$.

Таким образом, искомое множество точек — это прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, и перпендикулярная плоскости этого треугольника.

Ответ: Множество точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой, представляет собой прямую. Эта прямая перпендикулярна плоскости, в которой лежат три данные точки, и проходит через центр окружности, описанной около треугольника, образованного этими точками.