Номер 2.26, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ равны 3 см, 4 см соответственно, а длина перпендикуляра $CD$, опущенного на плоскость треугольника, равна 5 см. Найдите расстояние от точки $D$ до гипотенузы $AB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Сначала представим геометрическую ситуацию с помощью рисунка.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ ($ \angle C = 90^\circ $) катеты равны $ AC = 3 $ см и $ BC = 4 $ см. Отрезок $ CD $ перпендикулярен плоскости треугольника $ (ABC) $, и его длина $ CD = 5 $ см. Требуется найти расстояние от точки $ D $ до гипотенузы $ AB $. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $ D $ на прямую $ AB $.

Сначала рассмотрим треугольник $ ABC $. Так как он прямоугольный, по теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $ AB $: $ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ см.

Теперь проведем в плоскости треугольника $ ABC $ высоту $ CH $ из вершины прямого угла $ C $ к гипотенузе $ AB $. Отрезок $ CH $ является проекцией наклонной $ DH $ на плоскость $ (ABC) $. Поскольку $ CD \perp (ABC) $, а $ CH $ — проекция $ DH $, и $ CH \perp AB $ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $ DH $ также будет перпендикулярна гипотенузе $ AB $. Следовательно, длина отрезка $ DH $ и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $ CH $. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через катеты: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 $ см². С другой стороны, площадь можно выразить через гипотенузу и высоту к ней: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH $. Приравняем два выражения для площади: $ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH = 6 $ $ 5 \cdot CH = 12 $ $ CH = \frac{12}{5} = 2.4 $ см.

Рассмотрим треугольник $ DCH $. Так как отрезок $ CD $ перпендикулярен плоскости $ (ABC) $, а отрезок $ CH $ лежит в этой плоскости и исходит из основания перпендикуляра $ C $, то $ CD \perp CH $. Это означает, что $ \triangle DCH $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $ C $.

Используя теорему Пифагора для треугольника $ DCH $, найдем длину гипотенузы $ DH $: $ DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} $. Подставим известные значения: $ DH = \sqrt{5^2 + (2.4)^2} = \sqrt{25 + 5.76} = \sqrt{30.76} $ см.

Ответ: $ \sqrt{30.76} $ см.