Номер 1.56, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Известно, что $\angle BAD=\angle B_1A_1D$, а $\angle CBD=\angle C_1B_1D$ (рис. 1.37).

1) Докажите, что плоскости $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны;

2) Найдите $AB$, если $AA_1:A_1D=2:3$ и $A_1B_1=2$ см.

Рис. 1.37

1) Докажите, что плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны;

Для доказательства параллельности плоскостей $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Рассмотрим прямые $AB$ и $A_1B_1$. Обе они лежат в плоскости $DAB$. По условию дано, что $\angle BAD = \angle B_1A_1D$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AD$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $AB \parallel A_1B_1$.

Рассмотрим прямые $BC$ и $B_1C_1$. Обе они лежат в плоскости $DBC$. По условию дано, что $\angle CBD = \angle C_1B_1D$. Эти углы являются соответственными при прямых $BC$ и $B_1C_1$ и секущей $BD$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $BC \parallel B_1C_1$.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые $AB$ и $BC$ в плоскости $ABC$ ($AB \cap BC = B$), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в плоскости $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1 \cap B_1C_1 = B_1$).

Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABC$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

2) Найдите AB, если AA₁:A₁D = 2:3 и A₁B₁ = 2 см.

Рассмотрим треугольник $DAB$. Так как $A_1$ лежит на отрезке $DA$ и $B_1$ лежит на отрезке $DB$, и из пункта 1 мы доказали, что $A_1B_1 \parallel AB$, то треугольник $DA_1B_1$ подобен треугольнику $DAB$ по двум углам (угол при вершине $D$ у них общий, а $\angle DA_1B_1 = \angle DAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $AD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB} = \frac{A_1B_1}{AB} $

Найдем коэффициент подобия $k = \frac{DA_1}{DA}$. По условию дано отношение $AA_1:A_1D = 2:3$. Это означает, что отрезок $AA_1$ можно представить как $2x$, а отрезок $A_1D$ — как $3x$, где $x$ — некоторая общая мера длины.

Тогда вся длина отрезка $DA$ будет равна сумме длин его частей: $ DA = AA_1 + A_1D = 2x + 3x = 5x $

Теперь найдем отношение длин сторон $DA_1$ и $DA$: $ \frac{DA_1}{DA} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $

Подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников: $ \frac{3}{5} = \frac{A_1B_1}{AB} $ $ \frac{3}{5} = \frac{2}{AB} $

Выразим из этой пропорции искомую сторону $AB$: $ 3 \cdot AB = 5 \cdot 2 $ $ 3 \cdot AB = 10 $ $ AB = \frac{10}{3} $ см.

Ответ: $AB = \frac{10}{3}$ см или $3\frac{1}{3}$ см.