Номер 1.52, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. Через середины отрезков $AB$, $AC$ и $AD$, не лежащих в одной плоскости, проведена плоскость $\alpha$. Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $BCD$.

Пусть M, N, и P — середины отрезков AB, AC и AD соответственно. По условию, отрезки AB, AC и AD не лежат в одной плоскости, следовательно, точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости и образуют тетраэдр. Плоскость α, по определению, проходит через точки M, N и P. Необходимо доказать, что плоскость α (плоскость MNP) параллельна плоскости BCD.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как M — середина отрезка $AB$ и N — середина отрезка $AC$, то отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, прямая $MN$ параллельна прямой $BC$ ($MN \parallel BC$).

Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. Так как N — середина отрезка $AC$ и P — середина отрезка $AD$, то отрезок $NP$ является средней линией треугольника $ACD$. По свойству средней линии, прямая $NP$ параллельна прямой $CD$ ($NP \parallel CD$).

Прямые $MN$ и $NP$ лежат в плоскости α и пересекаются в точке N (они не могут быть параллельны или совпадать, так как в противном случае точки B, C, D лежали бы на одной прямой, что невозможно для тетраэдра). Прямые $BC$ и $CD$ лежат в плоскости $BCD$ и пересекаются в точке C.

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($MN$ и $NP$) в плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CD$) в плоскости $BCD$.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следовательно, плоскость α параллельна плоскости $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на признаке параллельности двух плоскостей. Средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ параллельна $BC$, а средняя линия $NP$ треугольника $ACD$ параллельна $CD$. Так как две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости α параллельны двум пересекающимся прямым $BC$ и $CD$ в плоскости $BCD$, то плоскости α и $BCD$ параллельны.