Номер 1.45, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Покажите, что плоскость, проходящая через середины отрезков $AD, AC, BC$, проходит и через середину отрезка $BD$.

Пусть M, N, K и P — середины отрезков AD, AC, BC и BD соответственно. Поскольку по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, они образуют вершины тетраэдра ABCD.

Для наглядности представим данную конфигурацию на чертеже:

Докажем утверждение, используя свойства средних линий треугольника.

1. Рассмотрим грань $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AD$ и $AC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN \parallel DC$ и $MN = \frac{1}{2}DC$.

2. Рассмотрим грань $BDC$. Отрезок $PK$ соединяет середины сторон $BD$ и $BC$. Следовательно, $PK$ является средней линией треугольника $BDC$. По тому же свойству: $PK \parallel DC$ и $PK = \frac{1}{2}DC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel DC$ и $PK \parallel DC$. По свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, получаем, что $MN \parallel PK$.

4. Теперь рассмотрим грань $ABC$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Таким образом, $NK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $NK \parallel AB$ и $NK = \frac{1}{2}AB$.

5. Аналогично, в грани $ABD$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AD$ и $BD$. Таким образом, $MP$ — средняя линия треугольника $ABD$. Отсюда следует, что $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$.

6. Из пунктов 4 и 5 следует, что $NK \parallel AB$ и $MP \parallel AB$, а значит $NK \parallel MP$.

Таким образом, в четырехугольнике $MNPK$ противолежащие стороны попарно параллельны: $MN \parallel PK$ и $MP \parallel NK$. По определению, четырехугольник $MNPK$ является параллелограммом. (Такой параллелограмм называют параллелограммом Вариньона для тетраэдра).

Все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости. По условию, плоскость проходит через точки M, N и K. Поскольку точка P лежит в одной плоскости с точками M, N и K, она также принадлежит этой плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через середины отрезков $AD$, $AC$ и $BC$, проходит и через середину отрезка $BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что середины отрезков AD, AC, BC и BD образуют вершины параллелограмма. Так как все вершины параллелограмма лежат в одной плоскости, плоскость, проходящая через любые три из этих точек (середины AD, AC и BC), будет содержать и четвертую точку (середину BD).