Номер 1.42, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.42. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины отрезков $AB$, $AD$, $BC$ и $CD$ являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Пусть нам даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Обозначим середины отрезков AB, AD, BC и CD как K, L, M и N соответственно.

Чтобы доказать, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, нужно показать, что четырехугольник, образованный этими точками, имеет пару противоположных сторон, которые равны и параллельны. Рассмотрим четырехугольник KMLN.

1. Рассмотрим треугольник ABC.

По определению, точка K является серединой стороны AB, а точка M – серединой стороны BC. Следовательно, отрезок KM является средней линией треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы имеем:

$KM \parallel AC$ и $KM = \frac{1}{2} AC$.

2. Рассмотрим треугольник ADC.

Аналогично, точка L является серединой стороны AD, а точка N – серединой стороны CD. Следовательно, отрезок LN является средней линией треугольника ADC.

По свойству средней линии треугольника, мы имеем:

$LN \parallel AC$ и $LN = \frac{1}{2} AC$.

3. Сравним отрезки KM и LN.

Из результатов, полученных в пунктах 1 и 2, мы видим, что оба отрезка KM и LN параллельны одному и тому же отрезку AC. По свойству транзитивности параллельных прямых, отрезки KM и LN параллельны друг другу:

$KM \parallel LN$.

Также, из тех же пунктов следует, что длины отрезков KM и LN равны, так как они обе равны половине длины отрезка AC:

$KM = LN = \frac{1}{2} AC$.

4. Заключение.

Мы рассматриваем четырехугольник KMLN. Мы доказали, что его противоположные стороны KM и LN параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник, вершинами которого являются середины отрезков AB, AD, BC и CD, является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.