Номер 1.37, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.37. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости, пересекающей ее по средней линии.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $MN$ — ее средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает трапецию по ее средней линии, следовательно, прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$ ($MN \subset \alpha$).

Требуется доказать, что основания трапеции параллельны плоскости $\alpha$, то есть $AD \parallel \alpha$ и $BC \parallel \alpha$.

Доказательство:

По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Таким образом, имеем:

1. $MN \parallel BC$

2. $MN \parallel AD$

Рассмотрим основание $BC$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как в противном случае, имея две параллельные прямые $BC$ и $MN$ в одной плоскости $\alpha$, вся плоскость трапеции совпадала бы с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию о том, что плоскость *пересекает* трапецию. Таким образом, $BC \not\subset \alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

У нас есть прямая $BC$, которая не лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \not\subset \alpha$), и она параллельна прямой $MN$ ($BC \parallel MN$), которая лежит в плоскости $\alpha$ ($MN \subset \alpha$). Следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$).

Аналогичные рассуждения применим к основанию $AD$. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AD \not\subset \alpha$) и параллельна прямой $MN$ ($AD \parallel MN$), лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AD$ также параллельна плоскости $\alpha$ ($AD \parallel \alpha$).

Таким образом, оба основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Основания трапеции параллельны плоскости, так как они параллельны средней линии трапеции, а средняя линия по условию лежит в данной плоскости.