Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Если:

1) $a \parallel \alpha$, $b \parallel \alpha$, то необходимо ли, чтобы $a \parallel b$;

2) $a \parallel b$, $b \parallel \alpha$, то как могут располагаться между собой прямая $a$ и плоскость $\alpha$;

3) $a \parallel \alpha$, $b \parallel \beta$, возможно ли пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

Здесь $a$ и $b$ – прямые, а $\alpha$ и $\beta$ – плоскости. Обоснуйте ответ, выполните соответствующие чертежи.

1) Если $a \parallel \alpha$, $b \parallel \alpha$, то необходимо ли, чтобы $a \parallel b$?

Нет, не необходимо. Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, не обязательно параллельны друг другу. Относительно друг друга они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Так как существуют случаи, когда прямые не параллельны, то условие $a \parallel b$ не является необходимым.

Рассмотрим в качестве контрпримера случай пересекающихся прямых. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$ и задают плоскость $\gamma$. Если плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\alpha$, то любая прямая в плоскости $\gamma$ (включая $a$ и $b$) будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$, но прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Чертеж ниже иллюстрирует эту ситуацию: плоскость $\gamma$, содержащая пересекающиеся прямые $a$ и $b$, параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Нет, не необходимо. Прямые $a$ и $b$ могут быть также пересекающимися или скрещивающимися.

2) Если $a \parallel b$, $b \parallel \alpha$, то как могут располагаться между собой прямая а и плоскость α?

Прямая $a$ может быть либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежать в плоскости $\alpha$.

Это утверждение известно как признак параллельности прямой и плоскости (иногда называемый леммой о параллельных прямых), который гласит: если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Таким образом, возможны два случая:

Случай 1: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это происходит, когда прямая $b$ (и, соответственно, параллельная ей прямая $a$) не лежит в плоскости $\alpha$.

Случай 2: Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Это возможно, если через прямую $b$, параллельную $\alpha$, провести плоскость, пересекающую $\alpha$ по прямой $a$. Тогда $a \parallel b$.

Ответ: Прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в плоскости $\alpha$.

3) Если $a \parallel \alpha$, $b \parallel \beta$, возможно ли пересечение плоскостей α и β?

Да, возможно. Условия $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \beta$ не накладывают никаких ограничений на взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Рассмотрим пример, когда плоскости пересекаются. Пусть плоскость $\alpha$ горизонтальна, а плоскость $\beta$ — вертикальна. Очевидно, что эти плоскости пересекаются. Мы можем выбрать горизонтальную прямую $a$, не лежащую в $\alpha$, и она будет параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Также мы можем выбрать вертикальную прямую $b$, не лежащую в $\beta$, и она будет параллельна плоскости $\beta$ ($b \parallel \beta$). Таким образом, все условия задачи выполнены, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Ответ: Да, возможно.

1.32. Имеет ли тетраэдр параллельные ребра? Обоснуйте ответ.

Нет, в общем случае тетраэдр не имеет параллельных рёбер. Приведём обоснование этого утверждения.

Тетраэдр — это многогранник, у которого 4 вершины и 6 рёбер, причём никакие четыре вершины не лежат в одной плоскости. Каждая грань тетраэдра является треугольником.

Рассмотрим любую пару рёбер тетраэдра. Возможны два случая:

1. Рёбра имеют общую вершину. Например, рёбра AB и AC выходят из одной вершины A. Такие рёбра пересекаются, а значит, не могут быть параллельными, так как параллельные прямые по определению не пересекаются.

2. Рёбра не имеют общей вершины. Такие рёбра называются скрещивающимися. Например, рёбра AB и CD. Докажем от противного, что они не могут быть параллельными. Предположим, что ребро AB параллельно ребру CD. Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Если рёбра AB и CD параллельны, то все четыре вершины тетраэдра — A, B, C и D — должны лежать в этой единственной плоскости. Однако это прямо противоречит определению тетраэдра, согласно которому его вершины не могут лежать в одной плоскости. Если бы все четыре вершины лежали в одной плоскости, то фигура была бы плоским четырёхугольником, а не объёмным тетраэдром.

Следовательно, наше предположение о параллельности скрещивающихся рёбер неверно.

Так как ни пересекающиеся, ни скрещивающиеся рёбра тетраэдра не могут быть параллельными, то в тетраэдре нет параллельных рёбер.

Ответ: Нет, тетраэдр не имеет параллельных рёбер, так как любые два его ребра либо пересекаются в общей вершине, либо являются скрещивающимися. Если бы два ребра были параллельны, все четыре вершины тетраэдра лежали бы в одной плоскости, что противоречит определению тетраэдра.

1.33. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат с диагональю $6\sqrt{2}$ см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите сторону основания и боковое ребро тетраэдра.

Примечание: В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Геометрическое тело описано как прямоугольный параллелепипед, но в вопросе требуется найти параметры "тетраэдра". Решение приведено для прямоугольного параллелепипеда, описанного в условии.

Найдите сторону основания

Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$, а его диагональ $d_{осн}$. По теореме Пифагора для квадрата, квадрат его диагонали равен сумме квадратов двух его сторон: $d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Из условия известно, что диагональ основания $d_{осн} = 6\sqrt{2}$ см. Подставим это значение в формулу:

$(6\sqrt{2})^2 = 2a^2$

$36 \cdot 2 = 2a^2$

$72 = 2a^2$

$a^2 = \frac{72}{2} = 36$

$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: сторона основания равна 6 см.

Найдите боковое ребро

Боковая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. Его стороны — это сторона основания $a$ и боковое ребро параллелепипеда $h$. Диагональ боковой грани $d_{бок}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $a$ и $h$.

Согласно теореме Пифагора: $d_{бок}^2 = a^2 + h^2$.

Из условия известно, что диагональ боковой грани $d_{бок} = 10$ см. Мы уже вычислили, что сторона основания $a = 6$ см. Подставим известные значения в формулу:

$10^2 = 6^2 + h^2$

$100 = 36 + h^2$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: боковое ребро равно 8 см.

1.34. Дворец Мира и Согласия в городе Нур-Султан имеет форму четырехугольной пирамиды, основанием которой является квадрат. Сторона основания равна высоте пирамиды $\$a = h\$$ и основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата (рис. 1.29). Диагональ основания равна $\$d = 87,4\text{ м}\$$ с точностью до 0,01 м. Найдите высоту пирамиды с точностью до 0,01 м.

Рис. 1.29

Согласно условию задачи, Дворец Мира и Согласия имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. В основании этой пирамиды лежит квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$, высоту пирамиды как $h$ и диагональ основания как $d$.

Из условия нам известно:
1. Сторона основания равна высоте пирамиды, то есть $a = h$.
2. Диагональ основания (квадрата) $d = 87,4$ м.

Ниже приведена схематическая модель пирамиды для наглядности.

Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d$ выводится из теоремы Пифагора. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой. Таким образом, $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Отсюда получаем формулу для диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Выразим сторону квадрата $a$ через диагональ $d$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Поскольку по условию задачи высота пирамиды $h$ равна стороне ее основания $a$ ($h = a$), мы можем заменить $a$ на $h$ в полученной формуле:
$h = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Теперь подставим числовое значение диагонали $d = 87,4$ м и вычислим высоту $h$:
$h = \frac{87,4}{\sqrt{2}} \approx \frac{87,4}{1.41421356...} \approx 61,802238$ м.

В задаче требуется найти высоту с точностью до 0,01 м. Для этого необходимо округлить полученный результат до двух знаков после запятой:
$h \approx 61,80$ м.

Ответ: 61,80 м.

1.35. На рис. 1.30 прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно. Можно ли считать, что $b \parallel c$, если $D=a \cap b$, $E = a \cap c$?

Рис. 1.30

Нет, на основании данных условий нельзя однозначно утверждать, что прямые b и c параллельны.

Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны ($b \parallel c$), они должны удовлетворять двум условиям: 1) лежать в одной плоскости (быть копланарными); 2) не пересекаться.

Проанализируем заданную конфигурацию:

1. Прямые a и b пересекаются в точке D ($D=a \cap b$). Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $ \beta $. Таким образом, прямые a и b лежат в плоскости $ \beta $.

2. Аналогично, прямые a и c пересекаются в точке E ($E=a \cap c$). Они также определяют единственную плоскость. Обозначим ее $ \gamma $. Прямые a и c лежат в плоскости $ \gamma $.

Прямая a является общей для обеих плоскостей $ \beta $ и $ \gamma $. Теперь возможны два принципиальных случая:

Случай 1: Плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ не совпадают.

Это общий случай, который и изображен на рисунке, где точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. В этом случае плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ пересекаются по прямой $a$. Прямая $b$ лежит в плоскости $ \beta $, но не в $ \gamma $, а прямая $c$ лежит в плоскости $ \gamma $, но не в $ \beta $. Поскольку прямые $b$ и $c$ лежат в разных плоскостях, они не могут быть параллельными. Такие прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не параллельны.

Случай 2: Плоскости $ \beta $ и $ \gamma $ совпадают.

Если $ \beta = \gamma $, то все три прямые — a, b и c — лежат в одной плоскости. Задача сводится к планиметрической. У нас есть три прямые в одной плоскости, причем прямая a является секущей для прямых b и c. Однако сам факт существования секущей не гарантирует параллельности прямых b и c. Они могут как быть параллельными, так и пересекаться в некоторой точке. Для вывода об их параллельности необходимы дополнительные условия (например, о равенстве каких-либо углов, образованных при пересечении).

Поскольку существуют возможные конфигурации, удовлетворяющие условию задачи, в которых прямые $b$ и $c$ не являются параллельными, то сделать однозначный вывод об их параллельности нельзя.

Ответ: Нельзя, так как прямые $b$ и $c$ могут быть скрещивающимися или пересекающимися.

1.36. Даны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $AB \parallel CD$. Плоскость, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите $BC$ и $AD$, если $AB = 8$ см, $CD = 6$ см, $DE = 3$ см и $BE = 6$ см.

Проанализируем условие задачи. Даны четыре точки А, B, C, D, причем отрезки $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Это означает, что прямые, содержащие эти отрезки, параллельны. Две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, поэтому все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Фигура ABCD является трапецией с основаниями AB и CD.

Далее, сказано, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки B и C, пересекает отрезок AD в точке E. Это означает, что точка E одновременно принадлежит плоскости $\alpha$ и отрезку AD.

Поскольку точки B и C лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая BC лежит в этой плоскости. Точка E, принадлежа отрезку AD, также лежит на прямой AD. Таким образом, точка E является точкой пересечения прямых AD и BC.

Условие, что точка E принадлежит именно отрезку AD, означает, что "боковые" стороны трапеции AD и BC пересекаются. Такую трапецию называют самопересекающейся или перекрещенной. Точка E является точкой пересечения ее боковых сторон.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEB$ и $\triangle DEC$.

1. $\angle AEB = \angle DEC$ как вертикальные углы.

2. $\angle EAB = \angle EDC$ (или $\angle DAB = \angle ADC$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AD.

3. $\angle EBA = \angle ECD$ (или $\angle CBA = \angle BCD$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BC.

Следовательно, треугольники $\triangle AEB$ и $\triangle DEC$ подобны по трем углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} = \frac{AB}{CD} $

Подставим известные значения: $AB = 8$ см, $CD = 6$ см, $DE = 3$ см и $BE = 6$ см. $ \frac{AE}{3} = \frac{6}{CE} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $

Из пропорции найдем неизвестные длины отрезков $AE$ и $CE$.

Из $ \frac{AE}{3} = \frac{4}{3} $ следует, что $AE = 4$ см.

Из $ \frac{6}{CE} = \frac{4}{3} $ следует, что $4 \cdot CE = 6 \cdot 3 = 18$, откуда $CE = \frac{18}{4} = 4.5$ см.

Теперь можем найти искомые длины $BC$ и $AD$. Так как точка E лежит на отрезках AD и BC, то длины этих отрезков равны сумме длин их частей:

$AD = AE + ED = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$

$BC = BE + EC = 6 \text{ см} + 4.5 \text{ см} = 10.5 \text{ см}$

Ответ: $BC = 10.5$ см, $AD = 7$ см.

1.37. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости, пересекающей ее по средней линии.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $MN$ — ее средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает трапецию по ее средней линии, следовательно, прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$ ($MN \subset \alpha$).

Требуется доказать, что основания трапеции параллельны плоскости $\alpha$, то есть $AD \parallel \alpha$ и $BC \parallel \alpha$.

Доказательство:

По свойству средней линии трапеции, она параллельна ее основаниям. Таким образом, имеем:

1. $MN \parallel BC$

2. $MN \parallel AD$

Рассмотрим основание $BC$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как в противном случае, имея две параллельные прямые $BC$ и $MN$ в одной плоскости $\alpha$, вся плоскость трапеции совпадала бы с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию о том, что плоскость *пересекает* трапецию. Таким образом, $BC \not\subset \alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

У нас есть прямая $BC$, которая не лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \not\subset \alpha$), и она параллельна прямой $MN$ ($BC \parallel MN$), которая лежит в плоскости $\alpha$ ($MN \subset \alpha$). Следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$).

Аналогичные рассуждения применим к основанию $AD$. Прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AD \not\subset \alpha$) и параллельна прямой $MN$ ($AD \parallel MN$), лежащей в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AD$ также параллельна плоскости $\alpha$ ($AD \parallel \alpha$).

Таким образом, оба основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Основания трапеции параллельны плоскости, так как они параллельны средней линии трапеции, а средняя линия по условию лежит в данной плоскости.

1.38. Через сторону $AB$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$. Покажите, что $DC \parallel \alpha$, если $C \notin \alpha$.

По условию задачи, фигура $ABCD$ является параллелограммом. Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $DC \parallel AB$.

Также по условию, через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Это означает, что вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $AB \subset \alpha$.

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости, который гласит: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Для применения этого признака необходимо убедиться, что прямая $DC$ не лежит в плоскости $\alpha$. По условию, точка $C$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \notin \alpha$). Поскольку точка $C$ принадлежит прямой $DC$ ($C \in DC$), то и сама прямая $DC$ не может лежать в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $DC$ лежала в плоскости $\alpha$, то все ее точки, включая $C$, также должны были бы принадлежать плоскости $\alpha$, что противоречит условию.

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены:
1. Прямая $DC$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($DC \not\subset \alpha$).
2. Прямая $DC$ параллельна прямой $AB$ ($DC \parallel AB$).
3. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$).

Следовательно, можно утверждать, что прямая $DC$ параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. По свойству параллелограмма $DC \parallel AB$. Так как $AB \subset \alpha$, а прямая $DC$ не лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку $C \notin \alpha$), то по признаку параллельности прямой и плоскости $DC \parallel \alpha$.