Страница 23 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Подумайте

Что вы думаете о фигуре, изображенной на рис. 1.18?

Лежат ли в одной плоскости все точки, указанные на рисунке?

Рис. 1.18

Что вы думаете о фигуре, изображенной на рис. 1.18?

На рисунке изображена пространственная геометрическая фигура — треугольная пирамида, которую также называют тетраэдром. Вершиной пирамиды является точка $D$, а основанием — треугольник $ABC$.

Основными элементами фигуры являются вершины $A, B, C, D$, основание $ABC$, боковые грани $DAB, DBC, DCA$ и рёбра $AB, BC, CA, DA, DB, DC$. Отрезок $DO$ является высотой пирамиды, опущенной из вершины $D$ на плоскость основания. Точки $E$ и $F$ лежат на рёбрах основания $AB$ и $BC$. Рисунок выполнен в перспективе, где пунктирными линиями ($AC, DO, EF$) обозначены невидимые (скрытые) с данного ракурса элементы фигуры.

Ответ: На рисунке изображена треугольная пирамида (тетраэдр) $DABC$, являющаяся объёмной пространственной фигурой.

Лежат ли в одной плоскости все точки, указанные на рисунке?

На рисунке указаны точки $A, B, C, D, E, F, O$. Чтобы определить, лежат ли они в одной плоскости, рассмотрим плоскость основания пирамиды, заданную тремя точками $A, B$ и $C$. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

Точки $A, B, C$ лежат в плоскости $(ABC)$ по определению. Точка $E$ лежит на отрезке $AB$, а точка $F$ — на отрезке $BC$. Поскольку отрезки $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $(ABC)$, то и точки $E$ и $F$ также лежат в этой плоскости. Точка $O$ является основанием высоты $DO$, опущенной на плоскость основания, следовательно, точка $O$ также принадлежит плоскости $(ABC)$. Таким образом, шесть точек — $A, B, C, E, F, O$ — лежат в одной плоскости.

Точка $D$ является вершиной пирамиды и не принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Это следует из того, что фигура является объёмной, а отрезок $DO$ показан как высота, то есть расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ отлично от нуля ($DO > 0$). Если бы точка $D$ лежала в плоскости $(ABC)$, то все точки были бы компланарны, и фигура была бы плоской, а не объёмной пирамидой.

Следовательно, не все точки, указанные на рисунке, лежат в одной плоскости.

Ответ: Нет, не все точки лежат в одной плоскости. Точка $D$ не принадлежит плоскости $(ABC)$, в которой лежат все остальные указанные точки ($A, B, C, E, F, O$).

Работа в группе

Объединитесь в группы по четыре ученика и попробуйте дать определение тетраэдра, свои предложения обсудите со всем классом. По рекомендации учителя законспектируйте самое удачное определение.

Обсуждение и предложения

В ходе групповой работы над определением тетраэдра мы рассмотрели несколько подходов. Первоначальная идея заключалась в простом описании: тетраэдр — это объемная фигура, похожая на пирамиду, у которой все четыре грани являются треугольниками. Это интуитивно понятное, но не строгое определение.

Для большей точности мы сформулировали определение через его составные части: тетраэдр — это многогранник, ограниченный четырьмя треугольниками. Эти треугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а вершины треугольников — вершинами тетраэдра.

Наиболее строгий способ определения тетраэдра — через точки в пространстве. Если взять любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, и попарно соединить их отрезками, то поверхность, образованная четырьмя получившимися треугольниками, будет ограничивать геометрическое тело, называемое тетраэдром.

Свойства и классификация тетраэдра

Тетраэдр является простейшим выпуклым многогранником. Для него, как и для любого выпуклого многогранника, справедлива теорема Эйлера, связывающая число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г): $В - Р + Г = 2$. В случае тетраэдра: $4 - 6 + 4 = 2$. По своей сути, тетраэдр — это треугольная пирамида (любую из его граней можно считать основанием).

Особым видом тетраэдра является правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равные между собой равносторонние треугольники. Правильный тетраэдр является одним из пяти Платоновых тел.

Итоговое (самое удачное) определение для конспекта

После общего обсуждения и по рекомендации учителя мы сформулировали следующее наиболее полное и удачное определение, которое и следует законспектировать.

Ответ: Тетраэдр — это многогранник, поверхность которого состоит из четырех треугольников. Он имеет 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани. Тетраэдр также является треугольной пирамидой и представляет собой простейший из выпуклых многогранников. Для однозначного задания тетраэдра в пространстве необходимо и достаточно указать координаты четырех его вершин, не лежащих в одной плоскости.