Страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Назовите основные понятия стереометрии. Какие основные взаимосвязи определены между ними?

3. Сформулируйте аксиомы CI, CII, CIII и поясните их смысл.

4. Сформулируйте следствия аксиом и докажите их.

5. Как обозначаются точки, прямые и плоскости?

6. Две прямые (две плоскости) пересекаются в точке (по прямой). Как это записывают?

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

Стереометрия (от древнегреческих слов στερεός — «объёмный, твёрдый» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в трёхмерном пространстве. В отличие от планиметрии, которая изучает фигуры на плоскости (двумерное пространство), стереометрия имеет дело с такими объектами, как куб, шар, конус, пирамида, а также с взаимным расположением точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Ответ: Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий пространственные фигуры и их свойства.

2. Назовите основные понятия стереометрии. Какие основные взаимосвязи определены между ними?

В стереометрии, как и в планиметрии, есть основные понятия, которые принимаются без определения. К ним относятся:

• Точка — не имеет размеров, является фундаментальным элементом.
• Прямая — имеет только одно измерение (длину), бесконечна в обе стороны.
• Плоскость — имеет два измерения (длину и ширину), бесконечна во всех направлениях.

Между этими основными понятиями определены следующие основные взаимосвязи (отношения):

• Отношение принадлежности (инцидентности): Это отношение описывает, какие объекты содержат другие. Например:
  • Точка принадлежит (или лежит на) прямой.
  • Точка принадлежит (или лежит в) плоскости.
  • Прямая принадлежит (или лежит в) плоскости.
  Для описания этого отношения также используются выражения «проходит через». Например, «прямая проходит через точку» или «плоскость проходит через прямую».
• Отношение порядка: Это отношение определяет, как точки расположены на прямой относительно друг друга (например, точка B лежит между точками A и C).

Ответ: Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость. Основные взаимосвязи между ними — это отношение принадлежности (точка лежит на прямой, прямая лежит в плоскости и т.д.) и отношение порядка (определяет взаимное расположение точек на прямой).

3. Сформулируйте аксиомы СI, СII, СIII и поясните их смысл.

Аксиомы стереометрии — это исходные положения, которые принимаются без доказательства и лежат в основе всех дальнейших рассуждений и теорем.

Аксиома СI: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Смысл: Эта аксиома утверждает, что три точки, не принадлежащие одной прямой (неколлинеарные точки), однозначно задают плоскость. Подобно тому, как две точки однозначно задают прямую, три точки (например, ножки табурета) однозначно задают плоскость, обеспечивая устойчивость. Если бы точки лежали на одной прямой, через них можно было бы провести бесконечно много плоскостей (как страницы в книге, вращающиеся вокруг переплета).

Аксиома СII: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Смысл: Эта аксиома устанавливает связь между прямой и плоскостью. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, она не может "выйти" из этой плоскости. Прямая целиком погружена в плоскость. Это означает, что прямая не может "прокалывать" плоскость в двух местах, не лежа в ней полностью.

Аксиома СIII: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Смысл: Эта аксиома определяет, как пересекаются плоскости. Две различные плоскости в пространстве не могут пересекаться только в одной точке. Если у них есть хотя бы одна общая точка, то они обязательно пересекаются по целой прямой. Это линия пересечения двух стен в комнате или линия сгиба на листе бумаги.

Ответ:
СI: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. (Смысл: три неколлинеарные точки однозначно определяют плоскость).
СII: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. (Смысл: прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, целиком лежит в этой плоскости).
СIII: Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. (Смысл: плоскости пересекаются по прямым, а не по отдельным точкам).

4. Сформулируйте следствия аксиом и докажите их.

Из аксиом стереометрии вытекают важные следствия, которые также являются теоремами.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство:
Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$).
1. На прямой $a$ выберем две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Так как точка $M$ не лежит на прямой $a$, эти три точки не лежат на одной прямой.
3. Согласно аксиоме СI, через три точки $A$, $B$ и $M$, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем ее $\alpha$.
4. Так как точки $A$ и $B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме СII вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ по построению.
5. Таким образом, существует плоскость $\alpha$, проходящая через прямую $a$ и точку $M$. Эта плоскость единственна, так как любая другая плоскость, проходящая через $a$ и $M$, должна содержать точки $A$, $B$ и $M$, а по аксиоме СI такая плоскость только одна. Теорема доказана.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство:
Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.
1. На прямой $a$ выберем точку $A$, не совпадающую с точкой $M$.
2. На прямой $b$ выберем точку $B$, не совпадающую с точкой $M$.
3. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти точки не лежат на одной прямой, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ совпадали бы, что противоречит условию (прямые разные, хоть и пересекаются).
4. Согласно аксиоме СI, через три точки $A$, $B$ и $M$ проходит единственная плоскость $\alpha$.
5. Прямая $a$ проходит через точки $A$ и $M$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, по аксиоме СII, вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
6. Аналогично, прямая $b$ проходит через точки $B$ и $M$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, по аксиоме СII, вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
7. Таким образом, существует плоскость $\alpha$, проходящая через обе пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Эта плоскость единственна, так как она однозначно определяется тремя неколлинеарными точками $A$, $B$ и $M$. Теорема доказана.

Ответ:
Следствие 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Доказательство основано на выборе двух точек на прямой, что вместе с исходной точкой образует три неколлинеарные точки, которые по аксиоме СI задают единственную плоскость.
Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство основано на выборе по одной точке на каждой прямой (отличных от точки пересечения), что вместе с точкой пересечения образует три неколлинеарные точки, которые по аксиоме СI задают единственную плоскость.

5. Как обозначаются точки, прямые и плоскости?

В геометрии приняты стандартные обозначения для основных объектов:

• Точки: Обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами. Например, $A, B, C, M, K$.
• Прямые: Обозначаются строчными (маленькими) латинскими буквами. Например, $a, b, c, m, k$. Также прямую можно обозначить двумя заглавными буквами, соответствующими двум точкам, лежащим на этой прямой. Например, прямая $AB$.
• Плоскости: Обозначаются строчными греческими буквами. Например, $\alpha$ (альфа), $\beta$ (бета), $\gamma$ (гамма). Также плоскость можно обозначить тремя заглавными латинскими буквами, соответствующими трем точкам, не лежащим на одной прямой и принадлежащим этой плоскости. Например, плоскость $(ABC)$.

Ответ: Точки — заглавными латинскими буквами ($A, B, ...$). Прямые — строчными латинскими буквами ($a, b, ...$) или двумя заглавными ($AB, ...$). Плоскости — греческими буквами ($\alpha, \beta, ...$) или тремя заглавными латинскими буквами в скобках ($(ABC), ...$).

6. Две прямые (две плоскости) пересекаются в точке (по прямой). Как это записывают?

Для обозначения пересечения геометрических объектов используется символ пересечения множеств $ \cap $.

• Пересечение двух прямых: Если две прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, это записывается следующим образом:
  $a \cap b = M$
  Это читается как "прямая $a$ пересекает прямую $b$ в точке $M$".
• Пересечение двух плоскостей: Если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, это записывается так:
  $\alpha \cap \beta = c$
  Это читается как "плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$".

Ответ: Пересечение двух прямых $a$ и $b$ в точке $M$ записывается как $a \cap b = M$. Пересечение двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ по прямой $c$ записывается как $\alpha \cap \beta = c$.

Практическая работа

Из твердой бумаги вырежьте и сделайте макет пересекающихся между собой плоскостей и покажите:

1) прямую, по которой они пересекаются;

2) общую точку двух плоскостей;

3) точку одной плоскости, не лежащую в другой.

Для выполнения этой практической работы необходимо создать макет пересекающихся плоскостей. Для этого возьмем два листа твердой бумаги или картона прямоугольной формы. Они будут служить моделями двух плоскостей, которые мы обозначим как $\alpha$ и $\beta$.

1. В центре первого листа (плоскость $\alpha$) сделайте прямой надрез от одного края до середины листа.

2. Аналогичный надрез сделайте на втором листе (плоскость $\beta$).

3. Совместите листы, вставив один в другой по сделанным надрезам. В результате вы получите устойчивую конструкцию, которая наглядно демонстрирует пересечение двух плоскостей.

Ниже представлена схема получившегося макета, которая поможет визуализировать ответы на поставленные вопросы.

1) прямую, по которой они пересекаются;

В соответствии с аксиомой стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На сделанном макете линия, по которой соединяются два листа картона, и является этой прямой пересечения. На схеме она обозначена красным цветом и буквой $a$. Все точки этой прямой одновременно принадлежат и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$.

Ответ: Прямая пересечения плоскостей — это линия, где физически соприкасаются два листа бумаги в макете. На схеме это прямая $a$.

2) общую точку двух плоскостей;

Любая точка, которая лежит на линии пересечения $a$, является общей для обеих плоскостей. Чтобы показать такую точку, достаточно выбрать любое место на линии соединения листов в макете и отметить его, например, карандашом. На схеме такая точка обозначена как $M$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ целиком лежит в обеих плоскостях ($a \subset \alpha$ и $a \subset \beta$), то точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$).

Ответ: Общая точка двух плоскостей — это любая точка на линии их пересечения. На схеме это точка $M$.

3) точку одной плоскости, не лежащую в другой.

Чтобы показать такую точку, нужно выбрать на макете один из листов (например, тот, что изображает плоскость $\alpha$) и отметить на нём любую точку, которая не находится на линии разреза (линии пересечения). На схеме такая точка обозначена как $K$. Эта точка принадлежит плоскости $\alpha$ ($K \in \alpha$), но не принадлежит плоскости $\beta$ ($K \notin \beta$), так как единственные общие точки двух плоскостей лежат на прямой $a$, а точка $K$ на этой прямой не лежит.

Ответ: Точка, принадлежащая только одной из плоскостей, — это любая точка на одном из листов бумаги, расположенная вне линии их соединения. На схеме это точка $K$.

1.1. Можно ли провести плоскость через: 1) три точки; 2) четыре точки, лежащие на одной прямой? Будет ли эта плоскость единственной?

1) три точки

Ответ на этот вопрос зависит от взаимного расположения трех точек.

Существует два случая:

• Если три точки не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными), то согласно основной аксиоме стереометрии, через них можно провести плоскость, и притом только одну. В этом случае плоскость будет единственной.

• Если три точки лежат на одной прямой (являются коллинеарными), то они определяют эту прямую. Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать все три точки. Следовательно, в этом случае плоскость не будет единственной.

Ответ: Да, через любые три точки можно провести плоскость. Эта плоскость будет единственной, только если три точки не лежат на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

2) четыре точки, лежащие на одной прямой

Если четыре точки лежат на одной прямой, то любая плоскость, проходящая через эту прямую, будет содержать все четыре точки.

Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей (аналогично тому, как через переплет книги проходит множество ее страниц). Каждая из этих плоскостей будет содержать исходную прямую и, соответственно, все четыре точки на ней.

Таким образом, провести плоскость через четыре точки, лежащие на одной прямой, можно, но такая плоскость не будет единственной.

Ответ: Да, можно провести плоскость через четыре точки, лежащие на одной прямой. Эта плоскость не будет единственной; существует бесконечное множество таких плоскостей.

1.2. Запишите и выполните чертеж:

1) $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, $C \in \alpha$, $C \notin AB$;

2) $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, $a \cap b = A$;

3) $a \subset \alpha$, $a \subset \beta$;

4) $a \parallel b$, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$.

1) $A \in \alpha, B \in \alpha, C \in \alpha, C \notin AB$

Согласно условию, точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$. Условие $C \notin AB$ означает, что точка $C$ не лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не коллинеарны. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Ответ:

2) $a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = A$

Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$. Условие $a \cap b = A$ означает, что эти прямые пересекаются в точке $A$.

Ответ:

3) $a \subset \alpha, a \subset \beta$

Прямая $a$ принадлежит одновременно двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и линия их пересечения — это прямая $a$.

Ответ:

4) $a \parallel b, a \subset \alpha, b \subset \alpha$

Прямые $a$ и $b$ параллельны друг другу ($a \parallel b$). Обе прямые лежат в одной плоскости $\alpha$. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Ответ:

1.3. Запишите предложения с помощью знаков:

1) точка $A$ лежит на прямой $a$;

2) прямая $a$ проходит через точки $A$ и $B$;

3) прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$;

4) плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$;

5) плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой;

6) точка $C$ не лежит в плоскости $\gamma$;

7) прямая $l$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $B$;

8) плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой.

1) Утверждение «точка А лежит на прямой а» означает, что точка А является элементом множества точек, образующих прямую а. В математической нотации это записывается с помощью знака принадлежности «$\in$».
Ответ: $A \in a$

2) Утверждение «прямая а проходит через точки А и В» означает, что обе точки, А и В, лежат на прямой а. Это можно записать как два отдельных утверждения о принадлежности.
Ответ: $A \in a, B \in a$

3) Утверждение «прямые а и b пересекаются в точке О» означает, что точка О является общей точкой для обеих прямых. Для обозначения пересечения множеств используется знак «$\cap$».
Ответ: $a \cap b = O$

4) Утверждение «плоскости α и β пересекаются по прямой а» означает, что все точки прямой а принадлежат обеим плоскостям. Это также записывается с помощью знака пересечения.
Ответ: $\alpha \cap \beta = a$

5) Утверждение «плоскость α проходит через прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой» состоит из трех условий: прямая а целиком содержится в плоскости α (является ее подмножеством, знак «$\subset$»); точка А также принадлежит плоскости α (знак «$\in$»); точка А не принадлежит прямой а (знак «$\notin$»).
Ответ: $a \subset \alpha, A \in \alpha, A \notin a$

6) Утверждение «точка С не лежит в плоскости γ» означает, что точка С не является элементом множества точек, образующих плоскость γ. Для этого используется знак непринадлежности «$\notin$».
Ответ: $C \notin \gamma$

7) Утверждение «прямая l пересекает плоскость β в точке B» означает, что общей точкой для прямой l и плоскости β является единственная точка B. Это записывается с помощью знака пересечения.
Ответ: $l \cap \beta = B$

8) Утверждение «плоскость α проходит через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой» означает, что все три точки принадлежат плоскости α. Условие неколлинеарности (точки не лежат на одной прямой) означает, что, например, точка C не лежит на прямой, проходящей через точки A и B, которая обозначается (AB).
Ответ: $A \in \alpha, B \in \alpha, C \in \alpha$, при условии $C \notin (AB)$