Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Точка $A$ является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Имеются ли другие общие точки у этих плоскостей? Если есть, то как они располагаются?

Да, у плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $ обязательно есть и другие общие точки. Расположение этих точек зависит от того, совпадают ли плоскости или пересекаются.

Согласно одной из основных аксиом стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они либо совпадают, либо пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Так как плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ имеют общую точку $A$, они не могут быть параллельными (то есть не иметь общих точек).

Следовательно, возможны два случая:

1. Плоскости различны ($ \alpha \neq \beta $). В этом случае они пересекаются по прямой линии, назовем ее $l$. Точка $A$ принадлежит этой прямой. Все точки, лежащие на прямой $l$, являются общими для обеих плоскостей. Поскольку прямая состоит из бесконечного множества точек, у плоскостей есть и другие общие точки, и все они располагаются на этой прямой $l$.

2. Плоскости совпадают ($ \alpha = \beta $). В этом случае плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ являются одной и той же плоскостью. Тогда все их точки являются общими. В этой ситуации общие точки — это вся плоскость.

Таким образом, наличие одной общей точки у двух плоскостей гарантирует наличие и других общих точек.

Ответ: Да, у этих плоскостей имеются другие общие точки. Если плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ различны, то все их общие точки (включая точку $A$) образуют прямую, по которой эти плоскости пересекаются. Если плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ совпадают, то все точки этих плоскостей являются общими.

1.5. На рис. 1.11 изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите прямую, по которой плоскость $AA_1C_1C$ пересекается с плоскостью:

1) $ABCD$;

2) $A_1B_1C_1D_1$;

3) $AA_1D_1D$;

4) $BB_1C_1C$.

Рис. 1.11

Для решения задачи воспользуемся аксиомой стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Чтобы однозначно задать прямую пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться линией их пересечения.

На рисунке ниже изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $AA_1C_1C$ является диагональным сечением этого куба.

Рис. 1.11

1) ABCD

Плоскость $AA_1C_1C$ — это диагональное сечение куба. Плоскость $ABCD$ — это плоскость нижнего основания куба. Найдем общие точки этих двух плоскостей.
Точка $A$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $A$ также является вершиной основания, поэтому $A$ принадлежит плоскости $ABCD$.
Точка $C$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $C$ также является вершиной основания, поэтому $C$ принадлежит плоскости $ABCD$.
Так как точки $A$ и $C$ являются общими для обеих плоскостей, то их линия пересечения — прямая $AC$.
Ответ: $AC$.

2) A₁B₁C₁D₁

Плоскость $A_1B_1C_1D_1$ — это плоскость верхнего основания куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $A_1$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $A_1$ также является вершиной верхнего основания, поэтому $A_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $C_1$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $C_1$ также является вершиной верхнего основания, поэтому $C_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Следовательно, линия пересечения данных плоскостей — прямая $A_1C_1$.
Ответ: $A_1C_1$.

3) AA₁D₁D

Плоскость $AA_1D_1D$ — это плоскость боковой грани куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $AA_1D_1D$.
Точка $A$ является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Точка $A_1$ также является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Таким образом, линия пересечения этих плоскостей проходит через точки $A$ и $A_1$. Это прямая $AA_1$, которая является боковым ребром куба.
Ответ: $AA_1$.

4) BB₁C₁C

Плоскость $BB_1C_1C$ — это плоскость боковой грани куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$.
Точка $C$ является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Точка $C_1$ также является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Следовательно, линия пересечения этих плоскостей проходит через точки $C$ и $C_1$. Это прямая $CC_1$, которая является боковым ребром куба.
Ответ: $CC_1$.

1.6. Из одного аэропорта в 12 ч вылетели три самолета в разных направлениях с интервалом в 10 мин. В какое время все три самолета будут находиться в одной плоскости? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи рассмотрим положения самолетов в пространстве как материальные точки и воспользуемся основной аксиомой стереометрии.

Сначала определим время вылета каждого из трех самолетов.Первый самолет вылетел в 12:00.Второй самолет вылетел с интервалом в 10 минут после первого, то есть в 12:10.Третий самолет вылетел с интервалом в 10 минут после второго, то есть в 12:20.

Ключевым для решения является следующий геометрический факт: через любые три точки в пространстве всегда можно провести плоскость. Если точки не лежат на одной прямой, то такая плоскость единственна. Если точки лежат на одной прямой, через них можно провести бесконечно много плоскостей. В любом случае три точки всегда будут лежать в одной плоскости (являются компланарными).

Таким образом, три самолета, положения которых можно рассматривать как три точки в пространстве, будут находиться в одной плоскости в любой момент времени, когда все три существуют как объекты в полете (или в точке взлета).

Рассмотрим хронологию событий:

- До 12:20 в воздухе находятся не более двух самолетов. Говорить о плоскости, проходящей через три самолета, еще нельзя, так как третьего самолета в воздухе нет.

- В 12:20 третий самолет начинает свой полет. В этот момент его положение совпадает с точкой аэропорта. Первый самолет к этому времени летит уже 20 минут, а второй — 10 минут. Таким образом, в 12:20 мы впервые имеем три точки, соответствующие положениям трех самолетов.

Согласно приведенной выше аксиоме, эти три точки (положение первого самолета, положение второго самолета и аэропорт) обязательно лежат в одной плоскости. Это условие будет выполняться и в любой последующий момент времени.

Вопрос задачи "В какое время?" предполагает указание конкретного момента. Наиболее логичным ответом является самый первый момент времени, когда условие задачи (нахождение трех самолетов в одной плоскости) становится выполнимым и осмысленным. Этот момент наступает, когда вылетает третий самолет.

Ответ: Все три самолета будут находиться в одной плоскости в 12:20. Это первый момент времени, когда все три самолета можно рассматривать как три точки в пространстве, а любые три точки в пространстве всегда лежат в одной плоскости.

1.7. Даны точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой, и плоскость $\alpha$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $\alpha$ совпадают, если $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$.

Данное утверждение является прямым следствием одной из основных аксиом стереометрии.

Согласно аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рассмотрим условия задачи:

1. Даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой. По определению, плоскость, проходящая через эти три точки, называется плоскостью $(ABC)$. В соответствии с аксиомой, такая плоскость существует и является единственной.

2. Дана плоскость $\alpha$. По условию, все три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости, то есть $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$.

Таким образом, мы имеем две плоскости — плоскость $(ABC)$ и плоскость $\alpha$. Обе эти плоскости проходят через одни и те же три точки $A$, $B$, $C$, которые не лежат на одной прямой. Исходя из части аксиомы о единственности, эти две плоскости не могут быть различными. Они должны совпадать.

Следовательно, плоскость $(ABC)$ и плоскость $\alpha$ — это одна и та же плоскость, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. По аксиоме стереометрии через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Так как по условию точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой и принадлежат как плоскости $(ABC)$ (по определению), так и плоскости $\alpha$ (по условию), то эти плоскости совпадают.

1.8. Плоскости $α$, $β$ и $γ$ попарно пересекаются по прямым $a$, $b$ и $c$, причем $a \parallel b \parallel c$. Постройте соответствующий рисунок.

В задаче даны три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые попарно пересекаются. Это означает, что каждая пара плоскостей имеет общую прямую. Обозначим эти прямые пересечения следующим образом:

1. Плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью $\beta$ по прямой $a$. В символьной записи: $\alpha \cap \beta = a$.

2. Плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью $\gamma$ по прямой $b$. В символьной записи: $\alpha \cap \gamma = b$.

3. Плоскость $\beta$ пересекается с плоскостью $\gamma$ по прямой $c$. В символьной записи: $\beta \cap \gamma = c$.

Ключевым условием задачи является то, что все три прямые пересечения параллельны друг другу: $a \parallel b \parallel c$.

Такое расположение плоскостей и прямых соответствует известной теореме о пересечении плоскостей: если две пересекающиеся плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересечены третьей плоскостью ($\gamma$), то линии их пересечения ($b$ и $c$) либо параллельны, либо пересекаются. Если они параллельны, то они обе также параллельны линии пересечения первых двух плоскостей ($a$). В нашей задаче дан именно этот случай.

Для построения соответствующего рисунка можно представить себе три боковые грани бесконечной треугольной призмы. Каждая грань — это плоскость, а рёбра, по которым грани пересекаются, — это параллельные прямые.

Построение:

1. Изобразим три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ в виде пересекающихся параллелограммов.

2. Плоскости $\alpha$ (передняя грань) и $\beta$ (верхняя грань) пересекаются по видимой прямой $a$.

3. Плоскости $\alpha$ (передняя грань) и $\gamma$ (нижняя грань) пересекаются по видимой прямой $b$.

4. Плоскости $\beta$ (верхняя грань) и $\gamma$ (нижняя грань) пересекаются по прямой $c$, которая будет частично скрыта, поэтому изобразим её часть штриховой линией.

5. Прямые $a$, $b$ и $c$ на рисунке изображены параллельными, что соответствует условию $a \parallel b \parallel c$.

Ответ:

1.9. Необходимо ли, чтобы три прямые, проходящие через одну точку, лежали в одной плоскости?

Нет, не необходимо. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Точку их пересечения обозначим как $O$. Согласно одной из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость греческой буквой $\alpha$.

Теперь рассмотрим третью прямую, $c$, которая также проходит через точку $O$. Прямая $c$ может как лежать в плоскости $\alpha$, так и не лежать в ней. Если прямая $c$ не лежит в плоскости $\alpha$, она пересекает ее в единственной точке $O$. В этом случае мы имеем три прямые ($a$, $b$ и $c$), проходящие через одну точку ($O$), но не лежащие в одной плоскости.

Наглядной иллюстрацией служат оси координат в трехмерной декартовой системе. Оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ пересекаются в одной точке — начале координат $O(0,0,0)$. Однако они не лежат в одной плоскости. Например, оси $Ox$ и $Oy$ определяют плоскость $Oxy$, но ось $Oz$ этой плоскости не принадлежит, а лишь пересекает ее в точке $O$.

Таким образом, условие прохождения трех прямых через одну точку не является достаточным для того, чтобы они лежали в одной плоскости.

Ответ: Нет, не необходимо.

1.10. Докажите, что три прямые, попарно пересекающиеся между собой и не проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости.

Обозначим данные три прямые как $a$, $b$ и $c$. По условию, они попарно пересекаются. Пусть $A$ — точка пересечения прямых $b$ и $c$, $B$ — точка пересечения прямых $a$ и $c$, и $C$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$. Поскольку по условию прямые не проходят через одну точку, все три точки пересечения $A$, $B$ и $C$ являются различными.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ полностью лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь докажем, что третья прямая, $c$, также лежит в этой плоскости $\alpha$. Прямая $c$ проходит через точки $A$ и $B$.

Точка $A$ является точкой пересечения прямых $b$ и $c$, следовательно, она лежит на прямой $b$. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$.

Точка $B$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$, следовательно, она лежит на прямой $a$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, две различные точки прямой $c$ (точки $A$ и $B$) лежат в плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Итак, мы показали, что все три прямые, $a$, $b$ и $c$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано.

1.11. Докажите, что если $A \in m$, $m \subset \alpha$, то $A \in \alpha$. Сформулируйте это утверждение.

Доказательство
Нам необходимо доказать утверждение: если $A \in m$ и $m \subset \alpha$, то $A \in \alpha$.
Рассмотрим условия, которые нам даны:
1. $A \in m$ — это означает, что объект $A$ является элементом множества $m$.
2. $m \subset \alpha$ — это означает, что множество $m$ является подмножеством множества $\alpha$.
По определению, одно множество является подмножеством другого, если все элементы первого множества также являются элементами второго. Формально, $m \subset \alpha$ эквивалентно утверждению: для любого элемента $x$, если $x \in m$, то из этого следует, что $x \in \alpha$. ( $\forall x (x \in m \implies x \in \alpha)$ ).
Мы знаем из первого условия, что $A$ является элементом множества $m$. Так как определение подмножества справедливо для всех элементов $m$, оно справедливо и для элемента $A$.
Таким образом, подставляя наш элемент $A$ в общее правило, вытекающее из определения подмножества, мы получаем: поскольку $A \in m$, то $A \in \alpha$.
Утверждение доказано.
Ответ: Доказательство основано на определении подмножества. Так как $m \subset \alpha$, каждый элемент множества $m$ по определению является также элементом множества $\alpha$. Поскольку нам дано, что $A \in m$, то отсюда непосредственно следует, что $A \in \alpha$.

Сформулируйте это утверждение
Данное утверждение можно перевести с математического языка на естественный, чтобы выразить его смысл. Оно описывает фундаментальное свойство, связывающее понятия "быть элементом" и "быть подмножеством".
Ответ: Если некий элемент принадлежит некоторому множеству, а это множество, в свою очередь, является подмножеством другого множества, то данный элемент принадлежит и этому другому (включающему) множеству.

1.12. Сколько плоскостей можно провести в пространстве через точку и одну из двух пересекающихся прямых? Рассмотрите все возможные варианты.

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения точки и двух пересекающихся прямых в пространстве. Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, которые пересекаются в точке $O$. Эти две прямые однозначно определяют плоскость $\alpha$. Пусть $M$ – данная точка.

Количество плоскостей, которые можно провести через точку $M$ и одну из прямых ($l_1$ или $l_2$), зависит от положения точки $M$ относительно плоскости $\alpha$ и прямых $l_1$, $l_2$.

Случай 1. Точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, определенной прямыми $l_1$ и $l_2$.

В этом случае точка $M$ не принадлежит ни прямой $l_1$, ни прямой $l_2$, так как обе прямые лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

• Через прямую $l_1$ и точку $M$ можно провести единственную плоскость $\beta_1$.
• Через прямую $l_2$ и точку $M$ можно провести единственную плоскость $\beta_2$.

Эти две плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ различны. Предположим обратное: $\beta_1 = \beta_2$. Тогда эта плоскость содержит обе прямые $l_1$ и $l_2$. Но единственная плоскость, содержащая две пересекающиеся прямые, — это плоскость $\alpha$. Следовательно, $\beta_1 = \alpha$. Но плоскость $\beta_1$ содержит точку $M$, значит, $M$ должна лежать в плоскости $\alpha$, что противоречит условию данного случая. Таким образом, наше предположение неверно, и $\beta_1 \neq \beta_2$.

Иллюстрация данного случая:

Ответ: 2 плоскости.

Случай 2. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, но не принадлежит ни одной из прямых $l_1$ или $l_2$.

В этом случае, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $l_1$, пара ($M$, $l_1$) однозначно определяет плоскость. Так как и точка $M$, и прямая $l_1$ принадлежат плоскости $\alpha$, то эта единственная плоскость и есть $\alpha$.

Аналогично, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $l_2$, пара ($M$, $l_2$) также однозначно определяет плоскость $\alpha$.

В обоих вариантах мы получаем одну и ту же плоскость.

Ответ: 1 плоскость.

Случай 3. Точка $M$ принадлежит хотя бы одной из прямых $l_1$ или $l_2$.

Этот случай объединяет две ситуации: когда $M$ совпадает с точкой пересечения $O$ и когда $M$ лежит на одной из прямых, но не является точкой их пересечения.

Пусть точка $M$ лежит на прямой $l_1$. Тогда любая плоскость, проходящая через прямую $l_1$, будет содержать и точку $M$. Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей (они образуют так называемый пучок плоскостей).

Поскольку уже для одной прямой ($l_1$) существует бесконечно много таких плоскостей, то и общее число искомых плоскостей будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много плоскостей.

1.13. Если точки $A, B \in \alpha$, то отрезок $AB \subset \alpha$. Докажите и сформулируйте данное утверждение.

Формулировка данного утверждения

Утверждение, представленное в задаче, является следствием одной из фундаментальных аксиом стереометрии. Его можно сформулировать словами следующим образом:
Если две различные точки принадлежат некоторой плоскости, то и весь отрезок, соединяющий эти точки, также целиком принадлежит этой плоскости.

Ответ: Если две точки принадлежат плоскости, то отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит этой плоскости.

Доказательство данного утверждения

Для доказательства мы будем опираться на аксиомы стереометрии.

Дано: Две различные точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. В математической записи: $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$.
Доказать: Отрезок $AB$ полностью лежит в плоскости $\alpha$. В математической записи: $AB \subset \alpha$.

Доказательство:
1. Согласно аксиоме планиметрии, через две различные точки $A$ и $B$ можно провести прямую, и притом только одну. Обозначим эту прямую буквой $l$. Таким образом, точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$ ($A \in l$, $B \in l$).
2. По условию задачи, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$.
3. Воспользуемся ключевой аксиомой стереометрии (Аксиома 2): Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.
4. Поскольку две точки ($A$ и $B$) прямой $l$ принадлежат плоскости $\alpha$, то на основании этой аксиомы мы можем заключить, что вся прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$. То есть, $l \subset \alpha$.
5. По определению, отрезок $AB$ — это часть прямой $l$, состоящая из точек $A$, $B$ и всех точек прямой $l$, лежащих между $A$ и $B$. Следовательно, отрезок $AB$ является подмножеством прямой $l$ ($AB \subset l$).
6. Так как вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, а отрезок $AB$ является частью этой прямой, то все точки отрезка $AB$ также должны лежать в плоскости $\alpha$.
7. Таким образом, доказано, что $AB \subset \alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основывается на аксиоме стереометрии: если две точки прямой ($A$ и $B$) принадлежат плоскости ($\alpha$), то вся прямая, проходящая через эти точки, также принадлежит этой плоскости ($l \subset \alpha$). Отрезок $AB$ является частью прямой $l$, поэтому он также принадлежит плоскости $\alpha$.

1.14. Даны плоскость $ \alpha $ и точки $ A, B $ такие, что $ A \in \alpha $, $ B \notin \alpha $. Лежит ли в плоскости $ \alpha $:

1) середина отрезка $ AB $;

2) отрезок $ AB $;

3) прямая $ AB $?

Обоснуйте ответ.

Для наглядности представим данную ситуацию на рисунке, где плоскость $\alpha$ изображена в виде параллелограмма, точка $A$ лежит на этой плоскости, а точка $B$ находится вне ее (например, над ней). Точка $M$ — середина отрезка $AB$.

1) середина отрезка AB

Обоснование: Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$. По условию задачи точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ не лежит в этой плоскости ($B \notin \alpha$). Это означает, что прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, пересекает эту плоскость, то она имеет с ней только одну общую точку. Для прямой $AB$ и плоскости $\alpha$ этой единственной общей точкой является точка $A$. Так как точки $A$ и $B$ различны (иначе точка $B$ лежала бы в плоскости $\alpha$), середина отрезка $AB$, точка $M$, не совпадает с точкой $A$. Поскольку $M$ лежит на прямой $AB$ и $M \neq A$, точка $M$ не может лежать в плоскости $\alpha$.
Ответ: нет, не лежит.

2) отрезок AB

Обоснование: Для того чтобы отрезок лежал в плоскости, необходимо, чтобы обе его концевые точки принадлежали этой плоскости. По условию, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), но точка $B$ ей не принадлежит ($B \notin \alpha$). Так как одна из конечных точек отрезка $AB$ не лежит в плоскости $\alpha$, то и весь отрезок $AB$ не может лежать в этой плоскости. В плоскости $\alpha$ находится только одна точка данного отрезка — его конец, точка $A$.
Ответ: нет, не лежит.

3) прямая AB

Обоснование: Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Чтобы прямая $AB$ лежала в плоскости $\alpha$, необходимо, чтобы обе точки, $A$ и $B$, через которые она проходит, принадлежали плоскости $\alpha$. В условии сказано, что $A \in \alpha$, но $B \notin \alpha$. Так как точка $B$ не принадлежит плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AB$ не может лежать в этой плоскости. Прямая $AB$ лишь пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.
Ответ: нет, не лежит.

1.15. Точки $A, B, C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что любые три из них не лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что утверждение неверно, то есть существуют три точки из данных четырех, которые лежат на одной прямой. Без ограничения общности, пусть это будут точки $A$, $B$ и $C$. Обозначим прямую, на которой они лежат, как $l$.

Рассмотрим четвертую точку $D$. По условию, все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Из этого следует, что точка $D$ не может лежать на прямой $l$. Если бы точка $D$ лежала на прямой $l$, то все четыре точки были бы коллинеарны, а значит, лежали бы в любой плоскости, проходящей через эту прямую. Это противоречило бы условию задачи.

Итак, у нас есть прямая $l$, содержащая точки $A$, $B$ и $C$, и точка $D$, не лежащая на этой прямой.

Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна. Проведем такую плоскость $\alpha$ через прямую $l$ и точку $D$.

По построению, точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$. Так как прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки, включая $A$, $B$ и $C$, также принадлежат плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что все четыре точки — $A$, $B$, $C$ и $D$ — лежат в одной плоскости $\alpha$.

Это заключение прямо противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, никакие три из данных четырех точек не могут лежать на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.