Номер 1.5, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. На рис. 1.11 изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите прямую, по которой плоскость $AA_1C_1C$ пересекается с плоскостью:

1) $ABCD$;

2) $A_1B_1C_1D_1$;

3) $AA_1D_1D$;

4) $BB_1C_1C$.

Рис. 1.11

Для решения задачи воспользуемся аксиомой стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Чтобы однозначно задать прямую пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться линией их пересечения.

На рисунке ниже изображен куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $AA_1C_1C$ является диагональным сечением этого куба.

Рис. 1.11

1) ABCD

Плоскость $AA_1C_1C$ — это диагональное сечение куба. Плоскость $ABCD$ — это плоскость нижнего основания куба. Найдем общие точки этих двух плоскостей.
Точка $A$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $A$ также является вершиной основания, поэтому $A$ принадлежит плоскости $ABCD$.
Точка $C$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $C$ также является вершиной основания, поэтому $C$ принадлежит плоскости $ABCD$.
Так как точки $A$ и $C$ являются общими для обеих плоскостей, то их линия пересечения — прямая $AC$.
Ответ: $AC$.

2) A₁B₁C₁D₁

Плоскость $A_1B_1C_1D_1$ — это плоскость верхнего основания куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $A_1$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $A_1$ также является вершиной верхнего основания, поэтому $A_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $C_1$ принадлежит плоскости $AA_1C_1C$ по определению. Точка $C_1$ также является вершиной верхнего основания, поэтому $C_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
Следовательно, линия пересечения данных плоскостей — прямая $A_1C_1$.
Ответ: $A_1C_1$.

3) AA₁D₁D

Плоскость $AA_1D_1D$ — это плоскость боковой грани куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $AA_1D_1D$.
Точка $A$ является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Точка $A_1$ также является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Таким образом, линия пересечения этих плоскостей проходит через точки $A$ и $A_1$. Это прямая $AA_1$, которая является боковым ребром куба.
Ответ: $AA_1$.

4) BB₁C₁C

Плоскость $BB_1C_1C$ — это плоскость боковой грани куба. Найдем общие точки плоскостей $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$.
Точка $C$ является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Точка $C_1$ также является общей для обеих плоскостей, так как входит в их названия.
Следовательно, линия пересечения этих плоскостей проходит через точки $C$ и $C_1$. Это прямая $CC_1$, которая является боковым ребром куба.
Ответ: $CC_1$.