Номер 1.12, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Сколько плоскостей можно провести в пространстве через точку и одну из двух пересекающихся прямых? Рассмотрите все возможные варианты.

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения точки и двух пересекающихся прямых в пространстве. Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, которые пересекаются в точке $O$. Эти две прямые однозначно определяют плоскость $\alpha$. Пусть $M$ – данная точка.

Количество плоскостей, которые можно провести через точку $M$ и одну из прямых ($l_1$ или $l_2$), зависит от положения точки $M$ относительно плоскости $\alpha$ и прямых $l_1$, $l_2$.

Случай 1. Точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, определенной прямыми $l_1$ и $l_2$.

В этом случае точка $M$ не принадлежит ни прямой $l_1$, ни прямой $l_2$, так как обе прямые лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

• Через прямую $l_1$ и точку $M$ можно провести единственную плоскость $\beta_1$.
• Через прямую $l_2$ и точку $M$ можно провести единственную плоскость $\beta_2$.

Эти две плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ различны. Предположим обратное: $\beta_1 = \beta_2$. Тогда эта плоскость содержит обе прямые $l_1$ и $l_2$. Но единственная плоскость, содержащая две пересекающиеся прямые, — это плоскость $\alpha$. Следовательно, $\beta_1 = \alpha$. Но плоскость $\beta_1$ содержит точку $M$, значит, $M$ должна лежать в плоскости $\alpha$, что противоречит условию данного случая. Таким образом, наше предположение неверно, и $\beta_1 \neq \beta_2$.

Иллюстрация данного случая:

Ответ: 2 плоскости.

Случай 2. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, но не принадлежит ни одной из прямых $l_1$ или $l_2$.

В этом случае, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $l_1$, пара ($M$, $l_1$) однозначно определяет плоскость. Так как и точка $M$, и прямая $l_1$ принадлежат плоскости $\alpha$, то эта единственная плоскость и есть $\alpha$.

Аналогично, поскольку точка $M$ не лежит на прямой $l_2$, пара ($M$, $l_2$) также однозначно определяет плоскость $\alpha$.

В обоих вариантах мы получаем одну и ту же плоскость.

Ответ: 1 плоскость.

Случай 3. Точка $M$ принадлежит хотя бы одной из прямых $l_1$ или $l_2$.

Этот случай объединяет две ситуации: когда $M$ совпадает с точкой пересечения $O$ и когда $M$ лежит на одной из прямых, но не является точкой их пересечения.

Пусть точка $M$ лежит на прямой $l_1$. Тогда любая плоскость, проходящая через прямую $l_1$, будет содержать и точку $M$. Через одну прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей (они образуют так называемый пучок плоскостей).

Поскольку уже для одной прямой ($l_1$) существует бесконечно много таких плоскостей, то и общее число искомых плоскостей будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много плоскостей.