Номер 1.17, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. Докажите или опровергните следующие утверждения:

1) $A, B \in a, A, B \in \alpha \Rightarrow a \subset \alpha;$

2) $A, B \in m, m \cap \alpha \neq \emptyset \Rightarrow A, B \in \alpha;$

3) $a \subset \alpha, P \notin a \Rightarrow P \notin \alpha;$

4) $\alpha \cap \beta = b, A \in \alpha, A \in \beta \Rightarrow A \in b.$

1) Утверждение верно. Это утверждение является прямым следствием одной из аксиом стереометрии.
Дано, что точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$ ($A, B \in a$) и в то же время лежат в плоскости $\alpha$ ($A, B \in \alpha$). Будем считать, что точки $A$ и $B$ различны ($A \neq B$), так как в задачах по геометрии разные обозначения обычно соответствуют разным объектам.
Аксиома стереометрии гласит: если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Поскольку две различные точки $A$ и $B$ прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по указанной аксиоме вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Это записывается как $a \subset \alpha$.
Таким образом, утверждение доказано.
Примечание: если бы точки $A$ и $B$ совпадали, то утверждение было бы неверным, так как через одну точку в плоскости можно провести бесконечное множество прямых, которые не лежат в этой плоскости.
Ответ: Утверждение верно.

2) Утверждение неверно. Для опровержения приведем контрпример.
Условие $m \cap \alpha \neq \emptyset$ означает, что прямая $m$ и плоскость $\alpha$ имеют по крайней мере одну общую точку. Это может быть либо одна точка пересечения, либо вся прямая (если $m \subset \alpha$).
Рассмотрим случай, когда прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке, назовем ее $C$. Таким образом, $m \cap \alpha = \{C\}$.
Согласно условию, точки $A$ и $B$ лежат на прямой $m$ ($A, B \in m$). Выберем точки $A$ и $B$ на прямой $m$ так, чтобы они были отличны от точки $C$. Например, пусть $A$, $C$, $B$ лежат на прямой $m$ в таком порядке.
В этом случае условия $A, B \in m$ и $m \cap \alpha \neq \emptyset$ выполнены.
Однако заключение $A, B \in \alpha$ неверно, поскольку единственная точка прямой $m$, принадлежащая плоскости $\alpha$, — это точка $C$. Точки $A$ и $B$ не лежат в плоскости $\alpha$.
Наглядный пример в координатах: пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $Oxy$ (задается уравнением $z=0$), а прямая $m$ — ось $Oz$ (задается системой $x=0, y=0$). Их пересечение — точка $O(0,0,0)$, так что $m \cap \alpha \neq \emptyset$. Возьмем точки $A(0,0,1)$ и $B(0,0,2)$. Обе точки лежат на прямой $m$, но не лежат в плоскости $\alpha$.
Ответ: Утверждение неверно.

3) Утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример.
Условие $a \subset \alpha$ означает, что все точки прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$. Плоскость является двумерным объектом и содержит бесконечное множество точек, которые не лежат на какой-либо одной прямой, находящейся в этой плоскости.
Пусть дана плоскость $\alpha$ и лежащая в ней прямая $a$.
Выберем в плоскости $\alpha$ любую точку $P$, которая не принадлежит прямой $a$ ($P \notin a$). Такая точка заведомо существует.
Для такой точки $P$ исходные условия ($a \subset \alpha$ и $P \notin a$) выполнены. Однако, по построению, точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$). Это прямо противоречит заключению утверждения ($P \notin \alpha$).
Следовательно, исходное утверждение ложно.
Ответ: Утверждение неверно.

4) Утверждение верно. Оно следует непосредственно из определения пересечения множеств.
Пересечение двух множеств — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. В данном случае элементами являются точки, а множествами — плоскости $\alpha$ и $\beta$.
По условию, пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $b$. Это означает, что $b = \alpha \cap \beta$.
По определению пересечения, любая точка $X$ лежит на прямой $b$ тогда и только тогда, когда она лежит и в плоскости $\alpha$, и в плоскости $\beta$. Формально: $X \in b \iff (X \in \alpha \text{ и } X \in \beta)$.
Нам дано, что точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) и точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$ ($A \in \beta$).
Из этого следует, что точка $A$ удовлетворяет условию принадлежности пересечению $\alpha \cap \beta$.
Поскольку $\alpha \cap \beta = b$, то $A$ принадлежит прямой $b$, то есть $A \in b$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение верно.