Номер 1.20, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Докажите, что через любые две точки можно провести прямую, притом единственную.

Данное утверждение является одной из основных аксиом планиметрии, на которой строится вся евклидова геометрия. Доказательство этого утверждения принято разделять на две логические части: доказательство существования прямой и доказательство её единственности.

Первая часть утверждения — «через любые две точки можно провести прямую» — в рамках аксиоматического подхода к геометрии является аксиомой. Аксиомы — это исходные положения, которые принимаются как истинные без доказательств и служат основой для вывода всех остальных теорем. Таким образом, мы постулируем, что для любых двух различных точек, назовем их $A$ и $B$, существует как минимум одна прямая, которая их содержит.

Вторая часть утверждения — «притом единственную» — доказывается методом от противного. Для этого используется другая фундаментальная аксиома геометрии: две различные прямые на плоскости либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Сделаем предположение, противоречащее доказываемому утверждению: пусть через две различные точки $A$ и $B$ можно провести не одну, а как минимум две различные прямые. Назовем эти прямые $a$ и $b$.

Из нашего предположения следует, что прямая $a$ и прямая $b$ являются различными, но при этом обе проходят через точки $A$ и $B$. Это означает, что две различные прямые имеют две общие точки.

Данный вывод вступает в прямое противоречие с упомянутой выше аксиомой о пересечении прямых. Поскольку наше предположение привело к противоречию с фундаментальным положением геометрии, оно должно быть неверным.

Следовательно, через две различные точки не может проходить более одной прямой. Объединив этот вывод с аксиомой существования, мы приходим к заключению, что через любые две точки проходит ровно одна прямая.

Ответ: Утверждение доказывается в два этапа. Существование прямой, проходящей через две точки, принимается как аксиома. Единственность доказывается методом от противного: если предположить, что через две точки $A$ и $B$ проходят две разные прямые, то это противоречит аксиоме, гласящей, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, предположение неверно, и прямая, проходящая через две точки, единственна. Что и требовалось доказать.